En matemáticas , el teorema de construcción de haces de fibras es un teorema que construye un haz de fibras a partir de un espacio base dado, fibra y un conjunto adecuado de funciones de transición . El teorema también da las condiciones bajo las cuales dos de estos paquetes son isomorfos . El teorema es importante en la construcción del paquete asociado, donde uno comienza con un paquete dado y reemplaza quirúrgicamente la fibra con un nuevo espacio mientras se mantienen todos los demás datos iguales.
Declaración formal
Deje X y F sean espacios topológicos y dejar que G sea un grupo topológico con una acción continua izquierda en F . Dada una cubierta abierta { U i } de X y un conjunto de funciones continuas
definido en cada superposición no vacía, de modo que la condición de ciclo
sostiene, existe un haz de fibras E → X con fibra F y grupo de estructura G que es trivializable sobre { U i } con funciones de transición t ij .
Sea E ′ otro haz de fibras con el mismo espacio de base, fibra, grupo de estructura y vecindades trivializantes, pero funciones de transición t ′ ij . Si la acción de G sobre F es fiel , entonces E ′ y E son isomorfos si y solo si existen funciones
tal que
Tomando t i como funciones constantes a la identidad en G , vemos que dos haces de fibras con la misma base, fibra, grupo de estructura, vecindades trivializantes y funciones de transición son isomórficas.
Un teorema similar se cumple en la categoría suave, donde X e Y son variedades suaves , G es un grupo de Lie con una acción suave a la izquierda en Y y los mapas t ij son todos suaves.
Construcción
La demostración del teorema es constructiva . Es decir, en realidad construye un haz de fibras con las propiedades dadas. Se comienza tomando la unión disjunta de los espacios de producto U i × F
y luego forma el cociente por la relación de equivalencia
El espacio total E del paquete es T / ~ y la proyección π: E → X es el mapa que envía la clase de equivalencia de ( i , x , y ) a x . Las trivializaciones locales
son entonces definidos por
Paquete asociado
Sea E → X un haz de fibras con fibra F y grupo de estructura G , y sea F ′ otro espacio G izquierdo. Se puede formar un paquete asociado E ′ → X con una fibra F ′ y un grupo de estructura G tomando cualquier trivialización local de E y reemplazando F por F ′ en el teorema de construcción. Si se toma F ′ como G con la acción de la multiplicación por la izquierda, se obtiene el paquete principal asociado .
Referencias
- Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
- Steenrod, Norman (1951). La topología de los paquetes de fibra . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-00548-6. Consulte la Parte I, §2.10 y §3.