Haz de fibra
En matemáticas , y particularmente en topología , un paquete de fibras (o, en inglés de Commonwealth : paquete de fibras ) es un espacio que es localmente un espacio de producto , pero globalmente puede tener una estructura topológica diferente . Específicamente, la similitud entre un espacio y un espacio de producto se define utilizando un mapa sobreyectivo continuo , que en pequeñas regiones de se comporta como una proyección de las regiones correspondientes de a . El mapa , llamado proyección o inmersión del paquete, se considera parte de la estructura del paquete. El espacio se conoce como el espacio total del haz de fibras, como el espacio base y la fibra .
En el caso trivial , es justo , y el mapa es solo la proyección desde el espacio del producto hasta el primer factor. A esto se le llama paquete trivial . Ejemplos de haces de fibras no triviales incluyen la tira de Möbius y la botella de Klein , así como espacios de cobertura no triviales . Los haces de fibras como el haz tangente de una variedad y los haces de vectores más generales juegan un papel importante en la geometría diferencial y la topología diferencial , al igual que los haces principales .
Los mapeos entre los espacios totales de los haces de fibras que "conmutan" con los mapas de proyección se conocen como mapas de haces , y la clase de haces de fibras forma una categoría con respecto a dichos mapeos. Un mapa de paquete desde el propio espacio base (con el mapeo de identidad como proyección) se llama sección de . Los haces de fibras pueden especializarse de varias formas, la más común de las cuales requiere que los mapas de transición entre los parches triviales locales se encuentren en un determinado grupo topológico , conocido como grupo de estructura , que actúa sobre la fibra .
En topología , los términos fibra (alemán: Faser ) y espacio de fibra ( gefaserter Raum ) aparecieron por primera vez en un artículo de Herbert Seifert en 1933, [1] [2] pero sus definiciones se limitan a un caso muy especial. La principal diferencia con la concepción actual de un espacio de fibra, sin embargo, era que para Seifert lo que ahora se llama el espacio base (espacio topológico) de un espacio E de fibra (topológico) no era parte de la estructura, sino que se derivaba de ella como un espacio cociente de E . La primera definición de espacio de fibra fue dada porHassler Whitney en 1935 [3] bajo el nombre de espacio de esfera , pero en 1940 Whitney cambió el nombre a paquete de esfera . [4]
La teoría de los espacios con fibras, de los cuales los paquetes de vectores , los principales , las fibraciones topológicas y las variedades de fibras son un caso especial, se atribuye a Seifert, Heinz Hopf , Jacques Feldbau , [5] Whitney, Norman Steenrod , Charles Ehresmann , [6] [ 7] [8] Jean-Pierre Serre , [9] y otros.
Los haces de fibras se convirtieron en su propio objeto de estudio en el período 1935-1940. La primera definición general apareció en las obras de Whitney. [10]