Un cuadrado mágico asociativo es un cuadrado mágico para el cual cada par de números simétricamente opuestos al centro suman el mismo valor. Por un cuadrado, lleno con los números de a , esta suma común debe ser igual a . Estos cuadrados también se denominan cuadrados mágicos asociados , cuadrados mágicos regulares , cuadrados regmágicos o cuadrados mágicos simétricos . [1] [2] [3]
Ejemplos de
Por ejemplo, la plaza Lo Shu , la únicacuadrado mágico, es asociativo, porque cada par de puntos opuestos forman una línea del cuadrado junto con el punto central, por lo que la suma de los dos puntos opuestos es igual a la suma de una línea menos el valor del punto central independientemente de cuáles dos opuestos se eligen puntos. [4] Elcuadrado mágico de Albrecht Dürer 's 1514 grabado Melancolía I , también se encuentra en una carta de 1765 , Benjamin Franklin , también es asociativo, con cada par de números opuestos Sumado a 17. [5]
Existencia y enumeración
Los números de posibles asociaciones cuadrados mágicos para , contando dos cuadrados como iguales siempre que difieran solo por una rotación o reflexión, son:
El número cero en la posición de cuadrados mágicos asociativos es un ejemplo de un fenómeno más general: estos cuadrados no existen para los valores de que son simplemente pares (es decir, iguales a 2 módulo 4). [3] Cada cuadrado mágico asociativo de orden par forma una matriz singular , pero los cuadrados mágicos asociativos de orden impar pueden ser singulares o no singulares. [4]
Referencias
- ^ Frierson, LS (1917), "Notas sobre cuadrados mágicos pandiagonales y asociados" , en Andrews, WS (ed.), Magic Squares and Cubes (2ª ed.), Open Court, págs. 229–244
- ^ Bell, Jordan; Stevens, Brett (2007), "Construcción de cuadrados latinos pandiagonales ortogonales y cuadrados panmágicos a partir de-queens solutions ", Journal of Combinatorial Designs , 15 (3): 221–234, doi : 10.1002 / jcd.20143 , MR 2311190
- ^ a b Nordgren, Ronald P. (2012), "Sobre las propiedades de las matrices cuadradas mágicas especiales", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 437 (8): 2009-2025, doi : 10.1016 / j.laa.2012.05.031 , MR 2950468
- ^ a b Lee, Michael Z .; Con amor, Elizabeth; Narayan, Sivaram K .; Wascher, Elizabeth; Webster, Jordan D. (2012), "Sobre cuadrados mágicos regulares no singulares de orden impar", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 437 (6): 1346-1355, doi : 10.1016 / j.laa.2012.04.004 , MR 2942355
- ^ Pasles, Paul C. (2001), "Los cuadrados perdidos del Dr. Franklin: los cuadrados perdidos de Ben Franklin y el secreto del círculo mágico", American Mathematical Monthly , 108 (6): 489–511, doi : 10.1080 / 00029890.2001. 11919777 , JSTOR 2695704 , MR 1840656