Un espaciotiempo asintóticamente plano es una variedad de Lorentz en la que, hablando a grandes rasgos, la curvatura desaparece a grandes distancias de alguna región, de modo que a grandes distancias, la geometría se vuelve indistinguible de la del espaciotiempo de Minkowski .
Si bien esta noción tiene sentido para cualquier variedad de Lorentz, se aplica con mayor frecuencia a un espacio- tiempo como una solución a las ecuaciones de campo de alguna teoría métrica de la gravitación , particularmente la relatividad general . En este caso, podemos decir que un espacio-tiempo asintóticamente plano es aquel en el que el campo gravitacional , así como cualquier materia u otros campos que puedan estar presentes, se vuelven insignificantes en magnitud a grandes distancias de alguna región. En particular, en una solución de vacío asintóticamente plana , el campo gravitacional (curvatura) se vuelve insignificante a grandes distancias de la fuente del campo (típicamente algún objeto masivo aislado como una estrella). [1]
Significado intuitivo
La condición de planitud asintótica es análoga a condiciones similares en matemáticas y en otras teorías físicas. Tales condiciones dicen que algún campo físico o función matemática está desapareciendo asintóticamente en un sentido adecuado. [ cita requerida ]
En relatividad general, una solución de vacío asintóticamente plana modela el campo gravitacional exterior de un objeto masivo aislado. Por lo tanto, este espacio-tiempo puede considerarse como un sistema aislado : un sistema en el que se pueden despreciar las influencias exteriores . De hecho, los físicos rara vez imaginan un universo que contenga una sola estrella y nada más cuando construyen un modelo asintóticamente plano de una estrella. [ cita requerida ] Más bien, están interesados en modelar el interior de la estrella junto con una región exterior en la que se pueden despreciar los efectos gravitacionales debido a la presencia de otros objetos. Dado que las distancias típicas entre los cuerpos astrofísicos tienden a ser mucho mayores que el diámetro de cada cuerpo, a menudo podemos salirse con la nuestra con esta idealización, que generalmente ayuda a simplificar en gran medida la construcción y el análisis de soluciones.
Definiciones formales
Un colector es asintóticamente simple si admite una compactificación conforme tal que cada geodésica nula en tiene puntos finales pasados y futuros en el límite de .
Dado que este último excluye los agujeros negros, se define una variedad débilmente asintóticamente simple como una variedad con un conjunto abierto isométrica a una vecindad del límite de , dónde es la compactificación conforme de alguna variedad asintóticamente simple.
Una variedad es asintóticamente plana si es débilmente asintóticamente simple y asintóticamente vacía en el sentido de que su tensor de Ricci desaparece en una vecindad de la frontera de .
Algunos ejemplos y no ejemplos
Sólo los espaciotiempo que modelan un objeto aislado son asintóticamente planos. Muchas otras soluciones exactas conocidas, como los modelos FRW , no lo son.
Un ejemplo simple de un espacio-tiempo asintóticamente plano es la solución métrica de Schwarzschild . De manera más general, la métrica de Kerr también es asintóticamente plana. Pero otra generalización bien conocida del vacío de Schwarzschild, el espacio Taub-NUT , no es asintóticamente plano. Una generalización aún más simple, la solución métrica de De Sitter-Schwarzschild , que modela un objeto masivo esféricamente simétrico inmerso en un universo de De Sitter , es un ejemplo de un espacio-tiempo asintóticamente simple que no es asintóticamente plano.
Por otro lado, existen importantes familias grandes de soluciones que son asintóticamente planas, como las métricas AF Weyl y sus generalizaciones rotativas, las aspiradoras AF Ernst (la familia de todas las soluciones de vacío aximétricas estacionarias y asintóticamente planas). Estas familias vienen dadas por el espacio de solución de una familia muy simplificada de ecuaciones diferenciales parciales, y sus tensores métricos pueden escribirse en términos de una expansión multipolo explícita .
Una definición dependiente de las coordenadas
La forma más simple (e históricamente la primera) de definir un espacio-tiempo asintóticamente plano asume que tenemos un gráfico de coordenadas, con coordenadas , que lejos del origen se comporta de manera muy similar a una carta cartesiana en el espacio-tiempo de Minkowski, en el siguiente sentido. Escriba el tensor métrico como la suma de un fondo de Minkowski (físicamente inobservable) más un tensor de perturbación,, y establecer . Entonces requerimos:
Una razón por la que requerimos que las derivadas parciales de la perturbación decaigan tan rápidamente es que estas condiciones implican que la densidad de energía del campo gravitacional (en la medida en que esta noción algo nebulosa tiene sentido en una teoría métrica de la gravitación) decae como, que sería físicamente sensato. (En el electromagnetismo clásico , la energía del campo electromagnético de una carga puntual decae como.)
Una definición sin coordenadas
Alrededor de 1962, Hermann Bondi , Rainer K. Sachs y otros comenzaron a estudiar el fenómeno general de la radiación de una fuente compacta en la relatividad general, lo que requiere definiciones más flexibles de planitud asintótica. En 1963, Roger Penrose importó de la geometría algebraica la innovación esencial, ahora llamada compactación conforme , y en 1972, Robert Geroch utilizó esto para sortear el complicado problema de definir y evaluar adecuadamente los límites adecuados para formular una definición verdaderamente libre de coordenadas de planitud asintótica. En el nuevo enfoque, una vez que todo está configurado correctamente, solo es necesario evaluar las funciones en un locus para verificar la planitud asintótica.
Aplicaciones
La noción de planitud asintótica es extremadamente útil como condición técnica en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general y teorías afines. Hay varias razones para esto:
- Los modelos de fenómenos físicos en la relatividad general (y las teorías físicas afines) generalmente surgen como la solución de sistemas apropiados de ecuaciones diferenciales , y asumir la planitud asintótica proporciona condiciones de frontera que ayudan a establecer e incluso a resolver el problema de valor de frontera resultante .
- En las teorías métricas de la gravitación como la relatividad general, normalmente no es posible dar definiciones generales de conceptos físicos importantes como masa y momento angular; sin embargo, asumir la planitud asintótica permite emplear definiciones convenientes que tienen sentido para soluciones asintóticamente planas.
- Si bien esto es menos obvio, resulta que invocar la planitud asintótica permite a los físicos importar conceptos matemáticos sofisticados de la geometría algebraica y la topología diferencial para definir y estudiar características importantes como los horizontes de eventos que pueden estar presentes o no.
Ver también
Referencias
- Hawking, SW y Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-6.Consulte la Sección 6.9 para una discusión de los espaciotiempos asintóticamente simples.
- Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0-226-87033-5.Vea el Capítulo 11 .
- Frauendiener, Jörg. "Infinito conformal" . Reseñas vivientes en relatividad . Archivado desde el original el 31 de diciembre de 2005 . Consultado el 23 de enero de 2004 .
- Mars, M. y Senovilla, JMM (1998). "Sobre la construcción de modelos globales que describen cuerpos en rotación; singularidad del campo gravitacional exterior". Modern Physics Letters A . 13 (19): 1509-1519. arXiv : gr-qc / 9806094 . Código Bibliográfico : 1998MPLA ... 13.1509M . doi : 10.1142 / S0217732398001583 . eprint Los autores argumentan que los problemas de valores de frontera en la relatividad general, como el problema de emparejar un interior fluido perfecto dado con un exterior vacío asintomáticamente plano, están sobredeterminados . Esto no implica que no existan modelos de una estrella en rotación, pero ayuda a explicar por qué parecen ser difíciles de construir.
- Mark D. Roberts, Espacio-tiempo exterior a una estrella: contra la planitud asintótica . Versión fechada el 16 de mayo de 2002. Roberts intenta argumentar que la solución exterior en un modelo de una estrella giratoria debería ser un fluido o polvo perfecto en lugar de un vacío, y luego argumenta que no existen soluciones fluidas perfectas giratorias asintóticamente planas en la relatividad general . ( Nota: Mark Roberts es un colaborador ocasional de Wikipedia, incluido este artículo.
- Mars, Marc (1998). "La solución de Wahlquist-Newman". Phys. Rev. D . 63 (6): 064022. arXiv : gr-qc / 0101021 . Código Bibliográfico : 2001PhRvD..63f4022M . CiteSeerX 10.1.1.339.8609 . doi : 10.1103 / PhysRevD.63.064022 . eprint Mars presenta un espacio-tiempo giratorio de Petrov tipo D que incluye el conocido fluido Wahlquist y las soluciones de electrovacío Kerr-Newman como caso especial.
- MacCallum, MAH; Mars, M .; y Vera, R. Perturbaciones de segundo orden de cuerpos giratorios en equilibrio: el problema del vacío exterior Esta es una breve revisión de tres destacados expertos del estado actual de la técnica sobre la construcción de soluciones exactas que modelen cuerpos giratorios aislados (con una asintótica exterior de vacío plano ).
enlaces externos
- Ecuaciones de campo de Einstein y sus implicaciones físicas
Notas
- ^ "Física" (PDF) .
- ^ Townsend, P. K (1997). "Agujeros negros". págs. gr-qc / 9707012. arXiv : gr-qc / 9707012 .