Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch

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En matemáticas , la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch es una secuencia espectral para calcular la cohomología generalizada , introducida por Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch  ( 1961 ) en el caso especial de la teoría K topológica . Para un complejo CW y una teoría de cohomología generalizada , relaciona los grupos de cohomología generalizada${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle E ^ {\ bullet}}$

con grupos de cohomología "ordinaria" con coeficientes en la cohomología generalizada de un punto. Más precisamente, el término de la secuencia espectral es , y la secuencia espectral converge condicionalmente a .${\ Displaystyle H ^ {j}}$${\ Displaystyle E_ {2}}$${\ Displaystyle H ^ {p} (X; E ^ {q} (pt))}$${\ Displaystyle E ^ {p + q} (X)}$

Atiyah e Hirzebruch señalaron una generalización de su secuencia espectral que también generaliza la secuencia espectral de Serre , y la reduce en el caso donde . Puede derivarse de un par exacto que da la página de la secuencia espectral de Serre, excepto con los grupos de cohomología ordinarios reemplazados por . En detalle, suponga que es el espacio total de una fibración Serre con espacio de fibra y base . La filtración de por sus esqueletos da lugar a una filtración de . Hay una secuencia espectral correspondiente con término${\ Displaystyle E = H _ {\ text {Sing}}}$${\ Displaystyle E_ {1}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle X_ {n}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle E_ {2}}$

Esta es la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch en el caso de que la fibra sea ​​un punto.${\ Displaystyle F}$

Por ejemplo, la compleja teoría topológica de un punto es${\ Displaystyle K}$

Por definición, los términos en la -página de un complejo CW finito parecen${\ Displaystyle E_ {2}}$${\ Displaystyle X}$

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