Filtración (matemáticas)

En matemáticas , una filtración es una familia indexada de subobjetos de una estructura algebraica dada , con el índice corriendo sobre algún conjunto de índices totalmente ordenado , sujeto a la condición de que ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle (S_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle I}$

Si el índice es el parámetro de tiempo de algún proceso estocástico , entonces la filtración puede interpretarse como la representación de toda la información histórica pero no futura disponible sobre el proceso estocástico, y la estructura algebraica gana en complejidad con el tiempo. Por lo tanto, un proceso que se adapta a una filtración también se denomina no anticipado , porque no puede "ver el futuro". ^[1] ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle S_ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

A veces, como en un álgebra filtrada , existe el requisito de que sean subálgebras con respecto a algunas operaciones (digamos, suma de vectores ), pero no con respecto a otras operaciones (digamos, multiplicación) que satisfacen solo , donde el conjunto de índices es los números naturales ; esto es por analogía con un álgebra graduada . ${\ Displaystyle S_ {i}}$ ${\ Displaystyle S_ {i} \ cdot S_ {j} \ subseteq S_ {i + j}}$

A veces, se supone que las filtraciones satisfacen el requisito adicional de que la unión del ser el todo , o (en casos más generales, cuando la noción de unión no tiene sentido) que el homomorfismo canónico desde el límite directo del a es un isomorfismo . Si este requisito se asume o no, generalmente depende del autor del texto y, a menudo, se establece explícitamente. Este artículo no impone este requisito. ${\ Displaystyle S_ {i}}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S_ {i}}$ ${\ Displaystyle S}$