En las matemáticas , topológica K -teoría es una rama de la topología algebraica . Fue fundada para estudiar paquetes de vectores en espacios topológicos , por medio de ideas ahora reconocidas como teoría K (general) que fueron introducidas por Alexander Grothendieck . Los primeros trabajos sobre la teoría K topológica se deben a Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch .
Definiciones
Sea X un espacio compacto de Hausdorff y o . Luegose define como el grupo de Grothendieck del monoide conmutativo de las clases de isomorfismo de paquetes de vectores k de dimensión finita sobre X bajo la suma de Whitney . El producto tensorial de los haces da a la teoría K una estructura de anillo conmutativa . Sin subíndices,por lo general denota teoría K compleja, mientras que la teoría K real a veces se escribe como. La discusión restante se centra en la teoría K compleja.
Como primer ejemplo, observe que la teoría K de un punto son los números enteros. Esto se debe a que los paquetes de vectores sobre un punto son triviales y, por lo tanto, se clasifican por su rango y el grupo de Grothendieck de los números naturales son los números enteros.
También hay una versión reducida de K -theory,, definido para X un espacio puntiagudo compacto (cf. homología reducida ). Esta teoría reducida es intuitivamente paquetes K ( X ) módulo trivial . Se define como el grupo de clases de paquetes de equivalencia estable. Se dice que dos haces E y F son establemente isomorfos si hay haces triviales y , así que eso . Esta relación de equivalencia da como resultado un grupo, ya que cada paquete de vectores se puede completar en un paquete trivial sumando con su complemento ortogonal. Alternativamente,se puede definir como el núcleo del mapainducida por la inclusión del punto de base x 0 en X .
La teoría K forma una teoría de cohomología multiplicativa (generalizada) de la siguiente manera. La breve secuencia exacta de un par de espacios puntiagudos ( X , A )
se extiende a una larga secuencia exacta
Sea S n la n -ésima suspensión reducida de un espacio y luego defina
Los índices negativos se eligen para que los mapas de fronteras aumenten la dimensión.
A menudo es útil tener una versión no reducida de estos grupos, simplemente definiendo:
Aquí es con un punto base disjunto etiquetado '+' adjunto. [1]
Finalmente, el teorema de la periodicidad de Bott, como se formula a continuación, extiende las teorías a números enteros positivos.
Propiedades
- (respectivamente, ) es un funtor contravariante de la categoría de homotopía de espacios (puntiagudos) a la categoría de anillos conmutativos. Así, por ejemplo, la teoría K sobre los espacios contráctiles es siempre
- El espectro de la teoría K es (con la topología discreta en ), es decir donde [,] denota clases de homotopía apuntadas y BU es el colimit de los espacios de clasificación de los grupos unitarios : Similar, Para la teoría K real, utilice BO .
- Hay un homomorfismo de anillo natural. el carácter de Chern , de modo que es un isomorfismo.
- El equivalente de las operaciones de Steenrod en la teoría K son las operaciones de Adams . Se pueden utilizar para definir clases de características en la teoría K topológica .
- El principio de división de la teoría K topológica permite reducir los enunciados sobre paquetes de vectores arbitrarios a enunciados sobre sumas de paquetes de líneas.
- El teorema del isomorfismo de Thom en la teoría K topológica es donde T ( E ) es el espacio Thom del paquete del vector E sobre X . Esto es válido siempre que E sea un paquete de spin.
- La secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch permite el cálculo de grupos K de grupos cohomológicos ordinarios.
- Topológica K -teoría puede generalizarse enormemente a un funtor de C * -álgebras , véase el operador de la teoría K y KK-teoría .
Periodicidad de bott
El fenómeno de periodicidad que lleva el nombre de Raoul Bott (ver teorema de periodicidad de Bott ) se puede formular de esta manera:
- y donde H es la clase del paquete tautológico enes decir, la esfera de Riemann .
En la teoría K real hay una periodicidad similar, pero módulo 8.
Aplicaciones
Las dos aplicaciones más famosas de la teoría K topológica se deben a Frank Adams . Primero resolvió el problema uno invariante de Hopf haciendo un cálculo con sus operaciones de Adams . Luego demostró un límite superior para el número de campos vectoriales linealmente independientes en esferas .
Carácter de Chern
Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch demostraron un teorema que relaciona la teoría K topológica de un complejo CWcon su cohomología racional. En particular, demostraron que existe un homomorfismo
tal que
Hay un análogo algebraico que relaciona el grupo de Grothendieck de gavillas coherentes y el anillo de Chow de una variedad proyectiva suave. .
Ver también
- Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch (herramienta computacional para encontrar grupos de teoría K)
- Teoría de KR
- Teorema del índice de Atiyah-Singer
- Teorema de Snaith
- Teoría K algebraica
Referencias
- ^ Nacedora. Paquetes de vectores y teoría K (PDF) . pag. 57 . Consultado el 27 de julio de 2017 .
- Atiyah, Michael Francis (1989). K-teoría . Clásicos del libro avanzado (2ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-09394-0. Señor 1043170 .
- Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, eds. (2005). Manual de K-Theory . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-3-540-27855-9 . ISBN 978-3-540-30436-4. Señor 2182598 .
- Karoubi, Max (1978). K-teoría: una introducción . Clásicos de las matemáticas. Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-540-79890-3 . ISBN 0-387-08090-2.
- Karoubi, Max (2006). "Teoría K. Una introducción elemental". arXiv : matemáticas / 0602082 .
- Hatcher, Allen (2003). "Paquetes de vectores y teoría K" .
- Stykow, Maxim (2013). "Conexiones de la teoría K a la geometría y la topología" .