En matemáticas , la secuencia espectral de Serre (a veces la secuencia espectral de Leray-Serre para reconocer el trabajo anterior de Jean Leray en la secuencia espectral de Leray ) es una herramienta importante en la topología algebraica . Expresa, en el lenguaje del álgebra homológica , el singular (co) homología del espacio total de X de un (Serre) fibración en términos de la (co) homología de la espacio de base B y la fibra F . El resultado se lo debe a Jean-Pierre Serre en su tesis doctoral.
Secuencia espectral de cohomología
Dejar sea una fibración de Serre de espacios topológicos, y sea F la fibra (conectada a la ruta) . La secuencia espectral de cohomología de Serre es la siguiente:
Aquí, al menos en condiciones de simplificación estándar, el grupo de coeficientes en el -term es el q -ésimo grupo de cohomología integral de F , y el grupo externo es la cohomología singular de B con coeficientes en ese grupo.
Estrictamente hablando, lo que se quiere decir es cohomología con respecto al sistema de coeficientes locales en B dado por la cohomología de las diversas fibras. Suponiendo, por ejemplo, que B está simplemente conectado , esto colapsa a la cohomología habitual. Para una base de trayectoria conectada , todas las diferentes fibras son equivalentes de homotopía . En particular, su cohomología es isomórfica, por lo que la elección de "la" fibra no da ninguna ambigüedad.
El pilar significa cohomology integral del espacio total de X .
Esta secuencia espectral se puede derivar de un par exacto construido a partir de las largas secuencias exactas de la cohomología del par., dónde es la restricción de la formación de fibras sobre el p -skeleton de B . Más precisamente, usando esta notación ,
f se define restringiendo cada pieza en a , g se define usando el mapa de límites en la secuencia larga exacta del par , y h se define restringiendo a
Hay una estructura multiplicativa
coincidiendo en el término E 2 con (−1) qs multiplicado por el producto de taza, y con respecto al cual los diferencialesson derivaciones (graduadas) que inducen el producto en el-página de la que está en el -página.
Secuencia espectral de homología
De manera similar a la secuencia espectral de cohomología, hay una para homología:
donde las notaciones son duales a las anteriores.
Cálculos de ejemplo
Fibra de Hopf
Recuerde que la fibración de Hopf está dada por . La-página de la secuencia espectral Leray-Serre lee
El diferencial va abajo y derecho. Así, el único diferencial que no es necesariamente0 es d 0,1 2 , porque el resto tiene dominio o codominio 0 (ya que son0 en la página E 2 ). En particular, esta secuencia degenera en E 2 = E ∞ . La página E 3 dice
La secuencia espectral linda con es decir Evaluando las partes interesantes, tenemos y Conociendo la cohomología de ambos son cero, por lo que el diferencial es un isomorfismo.
Paquete de esferas en una compleja variedad proyectiva
Dada una variedad X proyectiva compleja n- dimensional, hay una familia canónica de paquetes de líneas por viniendo de la incrustación . Esto lo dan las secciones globales. que enviar
Si construimos un paquete de vectores de rango r que es una suma de whitney finita de paquetes de vectores, podemos construir un paquete de esferas cuyas fibras son las esferas . Entonces, podemos utilizar la secuencia espectral Serre junto con la clase de Euler para calcular la cohomología integral de S . La-página está dada por . Vemos que los únicos diferenciales no triviales se dan en el-página y se definen mediante ventosas con la clase Euler . En este caso viene dado por la clase chern superior de. Por ejemplo, considere el paquete de vectorespara X una superficie K3 . Entonces, la secuencia espectral se lee como
El diferencial por es el cuadrado de la clase Lefschetz. En este caso, el único diferencial no trivial es entonces
Podemos terminar este cálculo señalando que los únicos grupos de cohomología no triviales son
Fibración básica del espacio de ruta
Comenzamos primero con un ejemplo básico; Considere la fibración del espacio de la trayectoria.
Conocemos la homología de la base y el espacio total, por lo que nuestra intuición nos dice que la secuencia espectral de Serre debería poder decirnos la homología del espacio de bucle. Este es un ejemplo de un caso en el que podemos estudiar la homología de una fibración usando la página E ∞ (la homología del espacio total) para controlar lo que puede suceder en la página E 2 . Así que recuerda eso
Por lo tanto, sabemos que cuando q = 0, solo estamos mirando los grupos de homología con valores enteros regulares H p ( S n +1 ) que tienen valoren grados 0 y n +1 y valor 0 en cualquier otro lugar. Sin embargo, dado que el espacio de la ruta es contráctil, sabemos que para cuando la secuencia llega a E ∞ , todo se vuelve 0 excepto el grupo en p = q = 0. La única forma en que esto puede suceder es si hay un isomorfismo dea otro grupo. Sin embargo, los únicos lugares en los que un grupo puede ser distinto de cero son en las columnas p = 0 o p = n +1, por lo que este isomorfismo debe ocurrir en la página E n +1 con codominio Sin embargo, poniendo un en este grupo significa que debe haber un en H n +1 ( S n +1 ; H n ( F )). La repetición inductiva de este proceso muestra que H i (Ω S n +1 ) tiene valoren múltiplos enteros de n y 0 en cualquier otro lugar.
Anillo de cohomología del espacio proyectivo complejo
Calculamos la cohomología de usando la fibración:
Ahora, en la página E 2 , en la coordenada 0,0 tenemos la identidad del anillo. En la coordenada 0,1, tenemos un elemento i que generaSin embargo, sabemos que por la página de límite, solo puede haber generadores no triviales en el grado 2 n +1 diciéndonos que el generador i debe transgredir a algún elemento x en la coordenada 2,0. Ahora, esto nos dice que debe haber un elemento ix en la coordenada 2,1. Luego vemos que d ( ix ) = x 2 por la regla de Leibniz que nos dice que la coordenada 4,0 debe ser x 2 ya que no puede haber homología no trivial hasta el grado 2 n +1. Repitiendo este argumento inductivamente hasta que 2 n + 1 da ix n en la coordenada 2 n , 1 que debe ser el único generadoren ese grado, lo que nos dice que la coordenada 2 n + 1,0 debe ser 0. Leer la fila inferior horizontal de la secuencia espectral nos da el anillo de cohomología de y nos dice que la respuesta es
En el caso del espacio proyectivo complejo infinito, tomar límites da la respuesta
Cuarto grupo de homotopía de las tres esferas.
Una aplicación más sofisticada de la secuencia espectral de Serre es el cálculo Este ejemplo particular ilustra una técnica sistemática que se puede utilizar para deducir información sobre los grupos de esferas de homotopía superior. Considere la siguiente fibración que es un isomorfismo en
dónde es un espacio Eilenberg – MacLane . Luego convertimos aún más el mapaa una fibración; Es de conocimiento general que la fibra iterada es el espacio de bucle del espacio base, por lo que en nuestro ejemplo obtenemos que la fibra es Pero sabemos que Ahora miramos la secuencia espectral cohomológica de Serre: suponemos que tenemos un generador para la cohomología de grado 3 de , llamada . Dado que no hay nada en el grado 3 en la cohomología total, sabemos que esto debe ser eliminado por un isomorfismo. Pero el único elemento que puede mapearlo es el generador a del anillo de cohomología de, entonces tenemos . Por lo tanto, por la estructura del producto de copa, el generador en grado 4,, mapas al generador por multiplicación por 2 y que el generador de cohomología en grado 6 mapea a por multiplicación por 3, etc. En particular, encontramos que Pero ahora, dado que eliminamos los grupos de homotopía inferiores de X (es decir, los grupos en grados menores de 4) mediante el uso de la fibración iterada, sabemos quepor el teorema de Hurewicz , diciéndonos que
Corolario :
Prueba: tome la secuencia larga exacta de grupos de homotopía para la fibración de Hopf .
Ver también
Referencias
La secuencia espectral de Serre se cubre en la mayoría de los libros de texto sobre topología algebraica, p. Ej.
- Allen Hatcher , Secuencias espectrales
- Edwin Spanier , topología algebraica , Springer
También
- James Davis, Paul Kirk, Lecture notes in algebraic topology ofrece muchas aplicaciones interesantes de la secuencia espectral de Serre.
Una construcción elegante se debe a
- Andreas Dress, Zur Spektralsequenz einer Faserung , Inventiones Mathematicae 3 (1967), 172-178, EuDML .
El caso de los conjuntos simpliciales se trata en
- Paul Goerss, Rick Jardine , teoría de la homotopía simple , Birkhäuser