En matemáticas , y en teoría de modelos en particular , un modelo principal es un modelo que es lo más simple posible. Específicamente, un modeloes primordial si admite una incrustación elemental en cualquier modeloal que es elementalmente equivalente (es decir, en cualquier modelosatisfaciendo la misma teoría completa que).
Cardinalidad
En contraste con la noción de modelo saturado , los modelos primos están restringidos a cardinalidades muy específicas por el teorema de Löwenheim-Skolem . Sies un lenguaje de primer orden con cardinalidad y es una teoría completa sobre entonces este teorema garantiza un modelo para de cardinalidad Por lo tanto, ningún modelo principal de puede tener una cardinalidad mayor, ya que al menos debe estar integrado de manera elemental en dicho modelo. Esto todavía deja mucha ambigüedad en la cardinalidad real. En el caso de los lenguajes contables, todos los modelos primos son, a lo sumo, infinitos contables.
Relación con modelos saturados
Existe una dualidad entre las definiciones de modelos primarios y saturados. La mitad de esta dualidad se analiza en el artículo sobre modelos saturados , mientras que la otra mitad es la siguiente. Mientras que un modelo saturado realiza tantos tipos como sea posible, un modelo principal realiza el menor número posible: es un modelo atómico , que comprende solo los tipos que no se pueden omitir y omite el resto. Esto puede interpretarse en el sentido de que un modelo primo admite "sin florituras": en él se ignora cualquier característica de un modelo que sea opcional.
Por ejemplo, el modelo es un modelo primo de la teoría de los números naturales N con una operación sucesora S ; un modelo no principal podría serlo que significa que hay una copia de los números enteros completos que está separada de la copia original de los números naturales dentro de este modelo; en este complemento, la aritmética funciona como de costumbre. Estos modelos son elementalmente equivalentes; su teoría admite la siguiente axiomatización (verbalmente):
- Hay un elemento único que no es sucesor de ningún elemento;
- No hay dos elementos distintos que tengan el mismo sucesor;
- Ningún elemento satisface S n ( x ) = x con n > 0.
Estos son, de hecho, dos de los axiomas de Peano , mientras que el tercero se sigue del primero por inducción (otro de los axiomas de Peano). Cualquier modelo de esta teoría consiste en copias disjuntas de los enteros completos además de los números naturales, ya que una vez que se genera un submodelo a partir de 0, todos los puntos restantes admiten tanto predecesores como sucesores indefinidamente. Este es el esquema de una prueba de que es un modelo principal.
Referencias
- Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3a ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3