En la teoría de modelos y áreas relacionadas de las matemáticas , un tipo es un objeto que describe cómo podría comportarse un elemento (real o posible) o una colección finita de elementos en una estructura matemática . Más precisamente, es un conjunto de fórmulas de primer orden en un lenguaje L con variables libres x 1 , x 2 ,…, x n que son verdaderas de una secuencia de elementos de una estructura L. Dependiendo del contexto, los tipos pueden ser completos o parciales y pueden usar un conjunto fijo de constantes, A , de la estructura. La cuestión de qué tipos representan elementos reales deconduce a las ideas de modelos saturados y omitiendo tipos .
Definicion formal
Considere una estructura para un lenguaje L . Sea M el universo de la estructura. Por cada A ⊆ M , dejar que L ( A ) sea el idioma obtenido a partir de L mediante la adición de una constante c una para cada una ∈ A . En otras palabras,
Un tipo 1 (de) sobre A es un conjunto p ( x ) de fórmulas en L ( A ) con como máximo una variable libre x (por lo tanto de tipo 1) tal que para cada subconjunto finito p 0 ( x ) ⊆ p ( x ) hay algo de b ∈ M , dependiendo de p 0 ( x ), con(es decir, todas las fórmulas en p 0 ( x ) son verdaderas encuando x se reemplaza por b ).
De manera similar, un tipo n (de) sobre A se define como un conjunto p ( x 1 ,…, x n ) = p ( x ) de fórmulas en L ( A ), cada una de las cuales tiene sus variables libres que ocurren solo entre las n variables libres dadas x 1 ,…, x n , tal que para cada subconjunto finito p 0 ( x ) ⊆ p ( x ) hay algunos elementos b 1 ,…, b n ∈ M con.
Un tipo completo desobre A es uno que es máximo con respecto a la inclusión. De manera equivalente, para cada ya sea o . Cualquier tipo no completo se denomina tipo parcial . Entonces, el tipo de palabra en general se refiere a cualquier tipo n , parcial o completo, sobre cualquier conjunto de parámetros elegido (posiblemente el conjunto vacío).
Se dice que un tipo n p ( x ) esrealizado en si hay un elemento b ∈ M n tal que. La existencia de tal realización está garantizada para cualquier tipo por el teorema de la compacidad , aunque la realización podría tener lugar en alguna extensión elemental de, en lugar de en sí mismo. Si un tipo completo se realiza mediante b en, entonces el tipo se denota típicamente y se hace referencia como el tipo completo de b sobre A .
Se dice que un tipo p ( x ) está aislado por, por , Si . Dado que los subconjuntos finitos de un tipo siempre se realizan en, siempre hay un elemento b ∈ M n tal que φ ( b ) es verdadero en; es decir, así b realiza todo el tipo aislado. De modo que se realizarán tipos aislados en cada subestructura o extensión elemental. Debido a esto, los tipos aislados nunca se pueden omitir (ver más abajo).
Un modelo que se da cuenta de la máxima variedad posible de tipos se denomina modelo saturado , y la construcción de ultrapotencia proporciona una forma de producir modelos saturados.
Ejemplos de tipos
Considere el lenguaje con un conectivo binario, que denotamos como . Dejar ser la estructura para este idioma, que es el ordinal con su estándar bien ordenado. Dejar denotar la teoría de .
Considere el conjunto de fórmulas . Primero, afirmamos que este es un tipo. Dejar ser un subconjunto finito de . Necesitamos encontrar un que satisface todas las fórmulas en . Bueno, podemos simplemente tomar el sucesor del ordinal más grande mencionado en el conjunto de fórmulas. Entonces esto contendrá claramente todos los ordinales mencionados en. Así tenemos esoes un tipo. A continuación, tenga en cuenta que no se realiza en . Porque, si lo fuera, habría algunos que contiene cada elemento de . Si quisiéramos realizar el tipo, podríamos tener la tentación de considerar el modelo, que de hecho es una supermodelo de que se da cuenta del tipo. Desafortunadamente, esta extensión no es elemental, es decir, este modelo no tiene que satisfacer. En particular, la sentencia está satisfecho con este modelo y no con .
Entonces, deseamos realizar el tipo en una extensión elemental. Podemos hacer esto definiendo una nueva estructura en el lenguaje, que denotaremos. El dominio de la estructura será dónde es el conjunto de enteros adornado de tal manera que . Dejar denotar el orden habitual de . Interpretamos el símbolo en nuestra nueva estructura por . La idea es que estamos agregando un "-chain ", o copia de los enteros, sobre todo los ordinales finitos. Claramente cualquier elemento de se da cuenta del tipo . Además, se puede verificar que esta extensión es elemental.
Otro ejemplo: el tipo completo del número 2 sobre el conjunto vacío, considerado como un miembro de los números naturales, sería el conjunto de todas las declaraciones de primer orden, que describen una variable x , que son verdaderas cuando x = 2. Este conjunto incluiría fórmulas como, , y . Este es un ejemplo de tipo aislado, ya que, trabajando sobre la teoría de los naturales, la fórmula implica todas las demás fórmulas que son verdaderas sobre el número 2.
Como ejemplo adicional, las declaraciones
y
que describen la raíz cuadrada de 2 son consistentes con los axiomas de los campos ordenados y pueden extenderse a un tipo completo. Este tipo no se realiza en el campo ordenado de números racionales, sino que se realiza en el campo ordenado de reales. De manera similar, el conjunto infinito de fórmulas (sobre el conjunto vacío) {x> 1, x> 1 + 1, x> 1 + 1 + 1, ...} no se realiza en el campo ordenado de números reales, sino que se realiza en el campo ordenado de los hiperrealistas . Si permitimos parámetros, por ejemplo, todos los reales, podemos especificar un tipoque se realiza mediante un hiperreal infinitesimal que viola la propiedad de Arquímedes .
La razón por la que resulta útil restringir los parámetros a un determinado subconjunto del modelo es que ayuda a distinguir los tipos que pueden satisfacerse de los que no. Por ejemplo, utilizando el conjunto completo de números reales como parámetros, se podría generar un conjunto incontable infinito de fórmulas como, , ... eso descartaría explícitamente todo valor real posible para x , y por lo tanto nunca podría realizarse dentro de los números reales.
Espacios de piedra
Es útil considerar el conjunto de n- tipos completos sobre A como un espacio topológico . Considere la siguiente relación de equivalencia en fórmulas en las variables libres x 1 ,…, x n con parámetros en A :
Uno puede demostrar que si y solo si están contenidos exactamente en los mismos tipos completos.
El conjunto de fórmulas en variables libres x 1 ,…, x n sobre A hasta esta relación de equivalencia es un álgebra booleana (y es canónicamente isomorfa al conjunto de subconjuntos definibles por A de M n ). Los n- tipos completos corresponden a ultrafiltros de este álgebra de Boole. El conjunto de tipos n completos se puede convertir en un espacio topológico tomando los conjuntos de tipos que contienen una fórmula dada como conjuntos abiertos básicos. Esto construye el espacio Stone , que es compacto , Hausdorff y totalmente desconectado .
Ejemplo . La teoría completa de campos algebraicamente cerrados de característica 0 tiene eliminación de cuantificador , lo que permite mostrar que los posibles tipos 1 completos (sobre el conjunto vacío) corresponden a:
- Raíces de un polinomio no constante irreducible dado sobre los racionales con coeficiente principal 1. Por ejemplo, el tipo de raíces cuadradas de 2. Cada uno de estos tipos es un punto abierto del espacio de Stone.
- Elementos trascendentales, que no son raíces de ningún polinomio distinto de cero. Este tipo es un punto en el espacio Stone que está cerrado pero no abierto.
En otras palabras, los tipos 1 corresponden exactamente a los ideales primos del anillo polinomial Q [ x ] sobre los racionales Q : si r es un elemento del modelo de tipo p , entonces el ideal correspondiente ap es el conjunto de polinomios con r como raíz (que es solo el polinomio cero si r es trascendental). De manera más general, los n- tipos completos corresponden a los ideales primos del anillo polinómico Q [ x 1 , ..., x n ], en otras palabras, a los puntos del espectro primo de este anillo. (De hecho, la topología espacial de Stone puede verse como la topología de Zariski de un anillo booleano inducido de forma natural a partir del álgebra booleana. Mientras que la topología de Zariski no es en general de Hausdorff, sí lo es en el caso de los anillos booleanos). , si q ( x , y ) es un polinomio irreducible en dos variables, hay un tipo 2 cuyas realizaciones son (informalmente) pares ( x , y ) de elementos con q ( x , y ) = 0.
El teorema de los tipos omitidos
Dado un n- tipo p completo, uno puede preguntarse si hay un modelo de la teoría que omite p , en otras palabras, no hay n -tupla en el modelo que realiza p . Si p es un punto aislado en el espacio de Stone, es decir, si { p } es un conjunto abierto, es fácil ver que cada modelo realiza p (al menos si la teoría es completa). El teorema de los tipos omitidos dice que, a la inversa, si p no está aislado, entonces hay un modelo contable que omite p (siempre que el lenguaje sea contable).
Ejemplo : En la teoría de campos algebraicamente cerrados de característica 0, hay un tipo 1 representado por elementos que son trascendentales sobre el campo primo . Este es un punto no aislado del espacio Stone (de hecho, el único punto no aislado). El campo de los números algebraicos es un modelo que omite este tipo, y el cierre algebraico de cualquier extensión trascendental de los racionales es un modelo que realiza este tipo.
Todos los demás tipos son "números algebraicos" (más precisamente, son los conjuntos de enunciados de primer orden satisfechos por algún número algebraico dado), y todos esos tipos se realizan en todos los campos algebraicamente cerrados de característica 0.
Referencias
- Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-58713-1.
- Chang, CC ; Keisler, H. Jerome (1989). Model Theory (tercera ed.). Elsevier . ISBN 0-7204-0692-7.
- Marker, David (2002). Teoría de modelos: una introducción . Textos de Posgrado en Matemáticas 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.