En el procesamiento de señales , la correlación cruzada es una medida de similitud de dos series en función del desplazamiento de una con respecto a la otra. Esto también se conoce como un deslizante producto de punto o de desplazamiento interior-producto . Se usa comúnmente para buscar una señal larga para una característica conocida más corta. Tiene aplicaciones en reconocimiento de patrones , análisis de partículas individuales , tomografía electrónica , promediado , criptoanálisis y neurofisiología . La correlación cruzada es de naturaleza similar a la convolución de dos funciones. En unautocorrelación , que es la correlación cruzada de una señal consigo misma, siempre habrá un pico en un retraso de cero, y su tamaño será la energía de la señal.
En probabilidad y estadística , el término correlaciones cruzadas se refiere a las correlaciones entre las entradas de dos vectores aleatorios. y , mientras que las correlaciones de un vector aleatorio son las correlaciones entre las entradas de en sí, los que forman la matriz de correlación de. Si cada uno de y es una variable aleatoria escalar que se realiza repetidamente en una serie de tiempo , luego las correlaciones de las diversas instancias temporales dese conocen como autocorrelaciones de, y las correlaciones cruzadas de con a lo largo del tiempo son correlaciones cruzadas temporales. En probabilidad y estadística, la definición de correlación siempre incluye un factor de estandarización de tal manera que las correlaciones tienen valores entre -1 y +1.
Si y son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad y , respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la diferencia viene dado formalmente por la correlación cruzada (en el sentido de procesamiento de señales) ; sin embargo, esta terminología no se utiliza en probabilidad y estadística. En contraste, la convolución (equivalente a la correlación cruzada de y ) da la función de densidad de probabilidad de la suma .
Correlación cruzada de señales deterministas
Para funciones continuas y , la correlación cruzada se define como: [1] [2] [3]
| ( Ecuación 1 ) |
que es equivalente a
dónde denota el complejo conjugado de, y es el desplazamiento, también conocido como retraso (una característica en a ocurre en a ).
Si y son ambas funciones periódicas continuas de período , la integración de a se reemplaza por la integración en cualquier intervalo de longitud :
| ( Ecuación 2 ) |
que es equivalente a
De manera similar, para funciones discretas, la correlación cruzada se define como: [4] [5]
| ( Ecuación 3 ) |
que es equivalente a
- .
Para funciones discretas finitas , la correlación cruzada (circular) se define como: [6]
| ( Ecuación 4 ) |
que es equivalente a
- .
Para funciones discretas finitas , , la correlación cruzada del núcleo se define como: [7]
| ( Ecuación 5 ) |
dónde es un vector de funciones del kernel y es una transformación afín.
Específicamente, puede ser transformación de traducción circular, transformación de rotación o transformación de escala, etc. La correlación cruzada del núcleo extiende la correlación cruzada desde el espacio lineal al espacio del núcleo. La correlación cruzada es equivalente a la traducción; la correlación cruzada del núcleo es equivariante para cualquier transformación afín, incluida la traducción, rotación y escala, etc.
Explicación
Como ejemplo, considere dos funciones con valor real y difieren sólo por un desplazamiento desconocido a lo largo del eje x. Se puede usar la correlación cruzada para encontrar cuánto debe desplazarse a lo largo del eje x para que sea idéntico a . La fórmula esencialmente desliza elfuncionan a lo largo del eje x, calculando la integral de su producto en cada posición. Cuando las funciones coinciden, el valor dese maximiza. Esto se debe a que cuando los picos (áreas positivas) están alineados, hacen una gran contribución a la integral. De manera similar, cuando los valles (áreas negativas) se alinean, también hacen una contribución positiva a la integral porque el producto de dos números negativos es positivo.
Con funciones de valor complejo y , tomando el conjugado de asegura que los picos alineados (o valles alineados) con componentes imaginarios contribuirán positivamente a la integral.
En econometría , la correlación cruzada rezagada a veces se denomina autocorrelación cruzada. [8] : pág. 74
Propiedades
- La correlación cruzada de funciones y es equivalente a la convolución (denotado por) de y . Es decir:
- Si es una función hermitiana , entonces
- Si ambos y son hermitianos, entonces .
- .
- De manera análoga al teorema de convolución , la correlación cruzada satisface
- dónde denota la transformada de Fourier , y una nuevamente indica el complejo conjugado de , desde . Junto con los algoritmos de transformada rápida de Fourier , esta propiedad a menudo se explota para el cálculo numérico eficiente de correlaciones cruzadas [9] (ver correlación cruzada circular ).
- La correlación cruzada está relacionada con la densidad espectral (ver el teorema de Wiener-Khinchin ).
- La correlación cruzada de una convolución de y con una función es la convolución de la correlación cruzada de y con el kernel :
- .
Correlación cruzada de vectores aleatorios
Definición
Para vectores aleatorios y , cada uno de los cuales contiene elementos aleatorios cuyo valor esperado y varianza existen, la matriz de correlación cruzada de y está definido por [10] : p . 337
| ( Ecuación 3 ) |
y tiene dimensiones . Componente escrito:
Los vectores aleatorios y no necesita tener la misma dimensión, y cualquiera de las dos puede ser un valor escalar.
Ejemplo
Por ejemplo, si y son vectores aleatorios, entonces es un matriz cuya -la entrada es .
Definición de vectores aleatorios complejos
Si y son vectores aleatorios complejos , cada uno de los cuales contiene variables aleatorias cuyo valor esperado y varianza existen, la matriz de correlación cruzada de y es definido por
dónde denota transposición hermitiana .
Correlación cruzada de procesos estocásticos
En el análisis y la estadística de series de tiempo , la correlación cruzada de un par de procesos aleatorios es la correlación entre los valores de los procesos en diferentes momentos, en función de los dos tiempos. Dejar ser un par de procesos aleatorios, y ser en cualquier momentopuede ser un número entero para un proceso de tiempo discreto o un número real para un proceso de tiempo continuo ). Luegoes el valor (o realización ) producido por una ejecución determinada del proceso en el momento.
Función de correlación cruzada
Supongamos que el proceso tiene medios y y variaciones y en el momento , para cada . Entonces la definición de la correlación cruzada entre tiempos y es [10] : p . 392
| ( Ecuación 4 ) |
dónde es el operador de valor esperado . Tenga en cuenta que esta expresión puede no estar definida.
Función de covarianza cruzada
Restar la media antes de la multiplicación produce la covarianza cruzada entre tiempos y : [10] : p . 392
| ( Ecuación 5 ) |
Tenga en cuenta que esta expresión no está bien definida para series o procesos de todos los tiempos, porque es posible que la media no exista o que la varianza no exista.
Definición de proceso estocástico estacionario de sentido amplio
Dejar representan un par de procesos estocásticos que son conjuntamente estacionarios de sentido amplio . Entonces, la función de covarianza cruzada y la función de correlación cruzada se dan de la siguiente manera.
Función de correlación cruzada
| ( Ecuación 6 ) |
o equivalente
Función de covarianza cruzada
| ( Ecuación 7 ) |
o equivalente
dónde y son la media y la desviación estándar del proceso , que son constantes en el tiempo debido a la estacionariedad; y de manera similar para, respectivamente. indica el valor esperado . Que la covarianza cruzada y la correlación cruzada son independientes de es precisamente la información adicional (más allá de ser individualmente estacionaria de sentido amplio) transmitida por el requisito de que son conjuntamente estacionarios de sentido amplio.
La correlación cruzada de un par de procesos estocásticos estacionarios de sentido amplio en conjunto se puede estimar promediando el producto de las muestras medidas de un proceso y las muestras medidas del otro (y sus turnos de tiempo). Las muestras incluidas en el promedio pueden ser un subconjunto arbitrario de todas las muestras en la señal (por ejemplo, muestras dentro de una ventana de tiempo finita o un submuestreo [ ¿cuál? ] De una de las señales). Para una gran cantidad de muestras, el promedio converge a la verdadera correlación cruzada.
Normalización
Es una práctica común en algunas disciplinas (por ejemplo, estadísticas y análisis de series de tiempo ) normalizar la función de correlación cruzada para obtener un coeficiente de correlación de Pearson dependiente del tiempo . Sin embargo, en otras disciplinas (por ejemplo, ingeniería), la normalización generalmente se descarta y los términos "correlación cruzada" y "covarianza cruzada" se usan indistintamente.
La definición de la correlación cruzada normalizada de un proceso estocástico es
- .
Si la función está bien definido, su valor debe estar en el rango , Con 1 que indica una correlación perfecta y -1 indica perfecto anti-correlación .
Para procesos estocásticos estacionarios de sentido amplio en conjunto, la definición es
- .
La normalización es importante tanto porque la interpretación de la autocorrelación como una correlación proporciona una medida libre de escala de la fuerza de la dependencia estadística , como porque la normalización tiene un efecto sobre las propiedades estadísticas de las autocorrelaciones estimadas.
Propiedades
Propiedad de simetría
Para procesos estocásticos estacionarios de sentido amplio en conjunto, la función de correlación cruzada tiene la siguiente propiedad de simetría: [11] : p.173
Respectivamente para procesos conjuntos de WSS:
Análisis de retardo de tiempo
Las correlaciones cruzadas son útiles para determinar el retardo de tiempo entre dos señales, por ejemplo, para determinar los retardos de tiempo para la propagación de señales acústicas a través de una matriz de micrófonos. [12] [13] [ aclaración necesaria ] Después de calcular la correlación cruzada entre las dos señales, el máximo (o mínimo si las señales están correlacionadas negativamente) de la función de correlación cruzada indica el momento en el que las señales están mejor alineadas ; es decir, el retardo de tiempo entre las dos señales está determinado por el argumento del máximo, o arg max de la correlación cruzada , como en
Terminología en procesamiento de imágenes
Correlación cruzada normalizada cero (ZNCC)
Para aplicaciones de procesamiento de imágenes en las que el brillo de la imagen y la plantilla pueden variar debido a las condiciones de iluminación y exposición, las imágenes se pueden normalizar primero. Por lo general, esto se hace en cada paso restando la media y dividiendo por la desviación estándar . Es decir, la correlación cruzada de una plantilla, con una subimagen es
- .
dónde es el número de píxeles en y , es el promedio de y es la desviación estándar de.
En términos de análisis funcional , esto se puede considerar como el producto escalar de dos vectores normalizados . Es decir, si
y
entonces la suma anterior es igual a
dónde es el producto interno yes la norma L² . Cauchy-Schwarz luego implica que ZNCC tiene un rango de.
Por tanto, si y son matrices reales, su correlación cruzada normalizada es igual al coseno del ángulo entre los vectores unitarios y , siendo así si y solo si es igual a multiplicado por un escalar positivo.
La correlación normalizada es uno de los métodos utilizados para la coincidencia de plantillas , un proceso utilizado para encontrar incidencias de un patrón u objeto dentro de una imagen. También es la versión bidimensional del coeficiente de correlación producto-momento de Pearson .
Correlación cruzada normalizada (NCC)
NCC es similar a ZNCC con la única diferencia de no restar el valor medio local de las intensidades:
Sistemas no lineales
Se debe tener precaución al utilizar la correlación cruzada para sistemas no lineales. En determinadas circunstancias, que dependen de las propiedades de la entrada, la correlación cruzada entre la entrada y la salida de un sistema con dinámica no lineal puede ser completamente ciega a ciertos efectos no lineales. [14] Este problema surge porque algunos momentos cuadráticos pueden ser iguales a cero y esto puede sugerir incorrectamente que hay poca "correlación" (en el sentido de dependencia estadística) entre dos señales, cuando de hecho las dos señales están fuertemente relacionadas por dinámica no lineal.
Ver también
- Autocorrelación
- Autocovarianza
- Coherencia
- Circunvolución
- Correlación
- Función de correlación
- Matriz de correlación cruzada
- Covarianza cruzada
- Espectro cruzado
- Correlación de imágenes digitales
- Correlación de fase
- Correlación escalada
- Densidad espectral
- Teorema de Wiener-Khinchin
Referencias
- ^ Bracewell, R. "Notación de pentagrama para correlación cruzada". La transformada de Fourier y sus aplicaciones. Nueva York: McGraw-Hill, págs.46 y 243, 1965.
- ^ Papoulis, A. La integral de Fourier y sus aplicaciones. Nueva York: McGraw-Hill, págs. 244–245 y 252-253, 1962.
- ^ Weisstein, Eric W. "Correlación cruzada". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html
- ^ Rabiner, LR; Schafer, RW (1978). Procesamiento digital de señales de voz . Serie de procesamiento de señales. Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. págs. 147-148 . ISBN 0132136031.
- ^ Rabiner, Lawrence R .; Oro, Bernard (1975). Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. págs. 401 . ISBN 0139141014.
- ^ Wang, Chen (2019). Aprendizaje del kernel para la percepción visual, Capítulo 2.2.1 . Tesis doctoral. Universidad Tecnológica de Nanyang, Singapur. págs. 17-18 .
- ^ Wang, Chen; Zhang, Le; Yuan, Junsong; Xie, Lihua (2018). Correlacionador cruzado de kernel . La trigésima segunda conferencia AAAI sobre inteligencia artificial. Asociación para el Avance de la Inteligencia Artificial. págs. 4179–4186. arXiv : 1709.05936 .
- ^ Campbell; Lo; MacKinlay (1996). La econometría de los mercados financieros . Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0691043019.
- ^ Kapinchev, Konstantin; Bradu, Adrian; Barnes, Frederick; Podoleanu, Adrian (2015). "Implementación de GPU de correlación cruzada para generación de imágenes en tiempo real". 2015 IX Congreso Internacional sobre Procesamiento de Señales y Sistemas de Comunicación (ICSPCS) . págs. 1–6. doi : 10.1109 / ICSPCS.2015.7391783 . ISBN 978-1-4673-8118-5.
- ^ a b c Gubner, John A. (2006). Probabilidad y procesos aleatorios para ingenieros eléctricos e informáticos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86470-1.
- ^ Kun Il Park, Fundamentos de probabilidad y procesos estocásticos con aplicaciones a las comunicaciones, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
- ^ Rhudy, Matthew; Brian Bucci; Jeffrey Vipperman; Jeffrey Allanach; Bruce Abraham (noviembre de 2009). "Métodos de análisis de matrices de micrófonos mediante correlaciones cruzadas". Actas del Congreso Internacional de Ingeniería Mecánica de ASME 2009, Lake Buena Vista, FL : 281–288. doi : 10.1115 / IMECE2009-10798 . ISBN 978-0-7918-4388-8.
- ^ Rhudy, Matthew (noviembre de 2009). "Implementación en tiempo real de un clasificador de impulso militar" . Universidad de Pittsburgh, Tesis de Maestría. Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ Billings, SA (2013). Identificación de sistemas no lineales: métodos NARMAX en los dominios de tiempo, frecuencia y espacio-temporal . Wiley. ISBN 978-1-118-53556-1.
Otras lecturas
- Tahmasebi, Pejman; Hezarkhani, Ardeshir; Sahimi, Muhammad (2012). "Modelado geoestadístico de múltiples puntos basado en las funciones de correlación cruzada". Geociencias Computacionales . 16 (3): 779–797. doi : 10.1007 / s10596-012-9287-1 .
enlaces externos
- Correlación cruzada de Mathworld
- http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
- http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf