Covarianza cruzada

Parte de una serie sobre estadísticas
Correlación y covarianza
Correlación y covarianza de vectores aleatorios Matriz de autocorrelación Matriz de correlación cruzada Matriz de covarianza automática Matriz de covarianza cruzada
Correlación y covarianza de procesos estocásticos Función de autocorrelación Función de correlación cruzada Función de autocovarianza Función de covarianza cruzada
Correlación y covarianza de señales deterministas Función de autocorrelación Función de correlación cruzada Función de autocovarianza Función de covarianza cruzada
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Ver también: correlación cruzada

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En probabilidad y estadística , dados dos procesos estocásticos y , la covarianza cruzada es una función que da la covarianza de un proceso con el otro en pares de puntos de tiempo. Con la notación habitual ; para el operador de expectativa , si los procesos tienen las funciones medias y , entonces la covarianza cruzada viene dada por${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {E} }$${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {\operatorname {E} } [X_{t}]}$${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} [Y_{t}]}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,}$

La covarianza cruzada está relacionada con la correlación cruzada más comúnmente utilizada de los procesos en cuestión.

En el caso de dos vectores aleatorios y , la covarianza cruzada sería una matriz (a menudo denotada ) con entradas.Por lo tanto, el término covarianza cruzada se utiliza para distinguir este concepto de la covarianza de un vector aleatorio , que se entiende como la matriz de covarianzas entre los componentes escalares de sí mismo.${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p})^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{q})^{\rm {T}}}$${\displaystyle p\times q}$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatorname {cov} (X_{j},Y_{k}).\,}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$

En el procesamiento de señales , la covarianza cruzada a menudo se denomina correlación cruzada y es una medida de similitud de dos señales , comúnmente utilizada para encontrar características en una señal desconocida comparándola con una conocida. Es una función del tiempo relativo entre las señales, a veces se denomina producto de punto deslizante y tiene aplicaciones en el reconocimiento de patrones y el criptoanálisis .

Covarianza cruzada de vectores aleatorios

Artículo principal: matriz de covarianza cruzada

Covarianza cruzada de procesos estocásticos

La definición de covarianza cruzada de vector aleatorio puede generalizarse a procesos estocásticos de la siguiente manera:

Definición

Sea y denote procesos estocásticos. Entonces, la función de covarianza cruzada de los procesos se define por: ^{[1] : p.172}${\displaystyle \{X(t)\}}$${\displaystyle \{Y(t)\}}$${\displaystyle K_{XY}}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

( Ecuación 2 )

donde y .${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {E} \left[X(t)\right]}$${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} \left[Y(t)\right]}$

Si los procesos son procesos estocásticos complejos, el segundo factor debe ser complejo conjugado.

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)}}\right]}$

Definición de procesos de WSS conjuntos

Si y son un estacionario de sentido amplio en conjunto , entonces se cumple lo siguiente:${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle \mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}}$para todos ,${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

${\displaystyle \mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}}$ para todos ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

y

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1},0)}$ para todos ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

Al establecer (el tiempo de retraso, o la cantidad de tiempo por el cual la señal se ha desplazado), podemos definir${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})\triangleq \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})}$.

Por tanto, la función de covarianza cruzada de dos procesos WSS conjuntos está dada por:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t},Y_{t-\tau })=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{X})(Y_{t-\tau }-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t}Y_{t-\tau }]-\mu _{X}\mu _{Y}}$

( Ecuación 3 )

que es equivalente a

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t+\tau },Y_{t})=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{X})(Y_{t}-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }Y_{t}]-\mu _{X}\mu _{Y}}$.

Falta de correlación

Dos procesos estocásticos y se denominan no correlacionados si su covarianza es cero para todos los tiempos. ^{[1] : p.142} Formalmente:${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

Covarianza cruzada de señales deterministas

La covarianza cruzada también es relevante en el procesamiento de señales donde la covarianza cruzada entre dos procesos aleatorios estacionarios de sentido amplio puede estimarse promediando el producto de las muestras medidas de un proceso y las muestras medidas del otro (y sus turnos de tiempo). Las muestras incluidas en el promedio pueden ser un subconjunto arbitrario de todas las muestras en la señal (por ejemplo, muestras dentro de una ventana de tiempo finita o un submuestreo de una de las señales). Para una gran cantidad de muestras, el promedio converge a la covarianza verdadera.

La covarianza cruzada también puede referirse a una covarianza cruzada "determinista" entre dos señales. Consiste en sumar todos los índices de tiempo. Por ejemplo, para señales de tiempo discreto y la covarianza cruzada se define como${\displaystyle f[k]}$${\displaystyle g[k]}$

${\displaystyle (f\star g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k]}}g[n+k]=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k-n]}}g[k]}$

donde la línea indica que el conjugado complejo se toma cuando las señales tienen valores complejos .

Para funciones continuas y la covarianza cruzada (determinista) se define como${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle (f\star g)(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int {\overline {f(t)}}g(x+t)\,dt=\int {\overline {f(t-x)}}g(t)\,dt}$.

Propiedades

La covarianza cruzada (determinista) de dos señales continuas está relacionada con la convolución por

${\displaystyle (f\star g)(t)=({\overline {f(-\tau )}}*g(\tau ))(t)}$

y la covarianza cruzada (determinista) de dos señales de tiempo discreto está relacionada con la convolución discreta por

${\displaystyle (f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]}$.

Ver también

• Autocovarianza
• Autocorrelación
• Correlación
• Circunvolución
• Correlación cruzada

Referencias

1. Kun Il Park, Fundamentos de probabilidad y procesos estocásticos con aplicaciones a las comunicaciones, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3

Enlaces externos

• Correlación cruzada de Mathworld
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf