Matriz de covarianza cruzada

Parte de una serie sobre estadísticas
Correlación y covarianza
Correlación y covarianza de vectores aleatorios Matriz de autocorrelación Matriz de correlación cruzada Matriz de covarianza automática Matriz de covarianza cruzada
Correlación y covarianza de procesos estocásticos Función de autocorrelación Función de correlación cruzada Función de autocovarianza Función de covarianza cruzada
Correlación y covarianza de señales deterministas Función de autocorrelación Función de correlación cruzada Función de autocovarianza Función de covarianza cruzada
v t mi

No confundir con la matriz de covarianza .

En teoría de probabilidad y estadística , una matriz de covarianza cruzada es una matriz cuyo elemento en la posición i , j es la covarianza entre el i -ésimo elemento de un vector aleatorio y el j -ésimo elemento de otro vector aleatorio. Un vector aleatorio es una variable aleatoria con múltiples dimensiones. Cada elemento del vector es una variable aleatoria escalar . Cada elemento tiene un número finito de valores empíricos observados o un número finito o infinito de potencialesvalores. Los valores potenciales se especifican mediante una distribución de probabilidad conjunta teórica . Intuitivamente, la matriz de covarianza cruzada generaliza la noción de covarianza a múltiples dimensiones.

La matriz de covarianza cruzada de dos vectores aleatorios y generalmente se denota por o .${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$

Definición

Para los vectores aleatorios y , cada uno de los cuales contiene elementos aleatorios cuyo valor esperado y varianza existen, la matriz de covarianza cruzada de y está definida por ^{[1] : p.336}${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mathbf {\mu _{X}} )(\mathbf {Y} -\mathbf {\mu _{Y}} )^{\rm {T}}]}$

( Ecuación 1 )

donde y son vectores que contienen los valores esperados de y . Los vectores y no necesitan tener la misma dimensión, y cualquiera de los dos puede ser un valor escalar.${\displaystyle \mathbf {\mu _{X}} =\operatorname {E} [\mathbf {X} ]}$${\displaystyle \mathbf {\mu _{Y}} =\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

La matriz de covarianza cruzada es la matriz cuya entrada es la covarianza${\displaystyle (i,j)}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{X_{i}Y_{j}}=\operatorname {cov} [X_{i},Y_{j}]=\operatorname {E} [(X_{i}-\operatorname {E} [X_{i}])(Y_{j}-\operatorname {E} [Y_{j}])]}$

entre el i -ésimo elemento de y el j -ésimo elemento de . Esto da la siguiente definición de componentes de la matriz de covarianza cruzada.${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(X_{1}-\operatorname {E} [X_{1}])(Y_{1}-\operatorname {E} [Y_{1}])]&\mathrm {E} [(X_{1}-\operatorname {E} [X_{1}])(Y_{2}-\operatorname {E} [Y_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{1}-\operatorname {E} [X_{1}])(Y_{n}-\operatorname {E} [Y_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(X_{2}-\operatorname {E} [X_{2}])(Y_{1}-\operatorname {E} [Y_{1}])]&\mathrm {E} [(X_{2}-\operatorname {E} [X_{2}])(Y_{2}-\operatorname {E} [Y_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{2}-\operatorname {E} [X_{2}])(Y_{n}-\operatorname {E} [Y_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(X_{m}-\operatorname {E} [X_{m}])(Y_{1}-\operatorname {E} [Y_{1}])]&\mathrm {E} [(X_{m}-\operatorname {E} [X_{m}])(Y_{2}-\operatorname {E} [Y_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{m}-\operatorname {E} [X_{m}])(Y_{n}-\operatorname {E} [Y_{n}])]\end{bmatrix}}}$

Ejemplo

Por ejemplo, si y son vectores aleatorios, entonces es una matriz cuya -ésima entrada es .${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}}$${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$${\displaystyle 3\times 2}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},Y_{j})}$

Propiedades

Para la matriz de covarianza cruzada, se aplican las siguientes propiedades básicas: ^[2]

1. ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]-\mathbf {\mu _{X}} \mathbf {\mu _{Y}} ^{\rm {T}}}$
2. ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {cov} (\mathbf {Y} ,\mathbf {X} )^{\rm {T}}}$
3. ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X_{1}} +\mathbf {X_{2}} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {cov} (\mathbf {X_{1}} ,\mathbf {Y} )+\operatorname {cov} (\mathbf {X_{2}} ,\mathbf {Y} )}$
4. ${\displaystyle \operatorname {cov} (A\mathbf {X} +\mathbf {a} ,B^{\rm {T}}\mathbf {Y} +\mathbf {b} )=A\,\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\,B}$
5. Si y son independientes (o algo menos restringido, si cada variable aleatoria en no está correlacionada con cada variable aleatoria en ), entonces${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=0_{p\times q}}$

donde , y son vectores aleatorios , es un vector aleatorio , es un vector, es un vector y son matrices de constantes y es una matriz de ceros.${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X_{1}} }$${\displaystyle \mathbf {X_{2}} }$${\displaystyle p\times 1}$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle q\times 1}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle q\times 1}$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle p\times 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle q\times p}$${\displaystyle 0_{p\times q}}$${\displaystyle p\times q}$

Definición de vectores aleatorios complejos

Artículo principal: Vector aleatorio complejo § Matriz de covarianza cruzada y matriz de pseudocovarianza cruzada

Si y son vectores aleatorios complejos, la definición de la matriz de covarianza cruzada cambia ligeramente. La transposición se reemplaza por la transposición hermitiana :${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} (\mathbf {Z} ,\mathbf {W} ){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mathbf {\mu _{Z}} )(\mathbf {W} -\mathbf {\mu _{W}} )^{\rm {H}}]}$

Para vectores aleatorios complejos, otra matriz llamada matriz de pseudo-covarianza cruzada se define de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} (\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {W} }}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mathbf {\mu _{Z}} )(\mathbf {W} -\mathbf {\mu _{W}} )^{\rm {T}}]}$

Falta de correlación

Artículo principal: falta de correlación (teoría de la probabilidad)

Dos vectores aleatorios y se denominan no correlacionados si su matriz de matriz de covarianza cruzada es una matriz cero. ^{[1] : p . 337}${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$

Los vectores aleatorios complejos y se denominan no correlacionados si su matriz de covarianza y su matriz de pseudocovarianza es cero, es decir, si .${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0}$

Referencias

1. Gubner, John A. (2006). Probabilidad y procesos aleatorios para ingenieros eléctricos e informáticos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86470-1.
2. Taboga, Marco (2010). "Conferencias sobre teoría de la probabilidad y estadística matemática" .