Teorema de convergencia autónoma
En matemáticas , un teorema de convergencia autónoma es uno de una familia de teoremas relacionados que especifican condiciones que garantizan la estabilidad asintótica global de un sistema dinámico autónomo continuo .
La conjetura de Markus-Yamabe se formuló como un intento de dar condiciones para la estabilidad global de los sistemas dinámicos continuos en dos dimensiones . Sin embargo, la conjetura de Markus-Yamabe no es válida para dimensiones superiores a dos, un problema que los teoremas de convergencia autónoma intentan abordar. El primer teorema de convergencia autónoma fue construido por Russell Smith. [1] Este teorema fue posteriormente perfeccionado por Michael Li y James Muldowney. [2]
Nota: esta es una descripción intuitiva de cómo los teoremas de convergencia autónoma garantizan la estabilidad, no una descripción estrictamente matemática.
El punto clave en el teorema del ejemplo dado anteriormente es la existencia de una norma logarítmica negativa, que se deriva de una norma vectorial . La norma vectorial mide efectivamente la distancia entre puntos en el espacio vectorial en el que se define la ecuación diferencial, y la norma logarítmica negativa significa que las distancias entre puntos, medidas por la norma vectorial correspondiente, están disminuyendo con el tiempo bajo la acción de . Siempre que las trayectorias de todos los puntos en el espacio de fase estén delimitadas , todas las trayectorias deben, por lo tanto, converger eventualmente al mismo punto.
Los teoremas de convergencia autónoma de Russell Smith, Michael Li y James Muldowney funcionan de manera similar, pero se basan en mostrar que el área de formas bidimensionales en el espacio de fase disminuye con el tiempo. Esto significa que no pueden existir órbitas periódicas , ya que todos los bucles cerrados deben reducirse a un punto. Si el sistema está acotado, de acuerdo con el lema de cierre de Pugh tampoco puede haber un comportamiento caótico , por lo que todas las trayectorias deben finalmente alcanzar un equilibrio.
Michael Li también ha desarrollado un teorema de convergencia autónoma extendido que es aplicable a sistemas dinámicos que contienen una variedad invariante . [5]