En matemáticas , en el estudio de sistemas dinámicos , una órbita es una colección de puntos relacionados por la función de evolución del sistema dinámico. Puede entenderse como el subconjunto del espacio de fase cubierto por la trayectoria del sistema dinámico bajo un conjunto particular de condiciones iniciales , a medida que el sistema evoluciona. Como la trayectoria del espacio de fase se determina de forma única para cualquier conjunto dado de coordenadas del espacio de fase, no es posible que diferentes órbitas se crucen en el espacio de fase, por lo tanto, el conjunto de todas las órbitas de un sistema dinámico es una partición del espacio de fase. Comprender las propiedades de las órbitas mediante el uso de métodos topológicos. es uno de los objetivos de la teoría moderna de sistemas dinámicos.
Para los sistemas dinámicos de tiempo discreto , las órbitas son secuencias ; para los sistemas dinámicos reales , las órbitas son curvas ; y para los sistemas dinámicos holomórficos , las órbitas son superficies de Riemann .
Definición
Dado un sistema dinámico ( T , M , Φ) con T un grupo , M un conjunto y Φ la función de evolución
- dónde con
definimos
entonces el set
se llama órbita a través de x . Una órbita que consta de un solo punto se llama órbita constante . Una órbita no constante se llama cerrada o periódica si existe una en tal que
- .
Sistema dinámico real
Dado un sistema dinámico real ( R , M , Φ), I ( x ) es un intervalo abierto en los números reales , es decir. Para cualquier x en M
se llama semi-órbita positiva a través de x y
se llama semi-órbita negativa a través de x .
Sistema dinámico de tiempo discreto
Para sistema dinámico de tiempo discreto:
La órbita delantera de x es un conjunto:
La órbita hacia atrás de x es un conjunto:
y la órbita de x es un conjunto:
dónde :
- es una función de evolución que es aquí una función iterada ,
- colocar es espacio dinámico ,
- es el número de iteración, que es el número natural y
- es el estado inicial del sistema y
Por lo general, se usa una notación diferente:
- está escrito como
- dónde es en la notación anterior.
Sistema dinámico general
Para un sistema dinámico general, especialmente en dinámica homogénea, cuando uno tiene un grupo "agradable" actuando sobre un espacio de probabilidad en una forma de preservación de la medida, una órbita se llamará periódico (o equivalentemente, cerrado) si el estabilizador hay una celosía en el interior .
Además, un término relacionado es una órbita acotada, cuando el conjunto es precompacto por dentro .
La clasificación de las órbitas puede llevar a preguntas interesantes con relaciones con otras áreas matemáticas, por ejemplo, la conjetura de Oppenheim (probada por Margulis) y la conjetura de Littlewood (probada parcialmente por Lindenstrauss) se ocupan de la cuestión de si cada órbita acotada de alguna acción natural en el espacio homogéneo es de hecho periódica, esta observación se debe a Raghunathan y en diferentes idiomas a Cassels y Swinnerton-Dyer. Estas preguntas están íntimamente relacionadas con teoremas profundos de clasificación de medidas.
Notas
A menudo ocurre que se puede entender que la función de evolución compone los elementos de un grupo , en cuyo caso las órbitas teóricas de grupo de la acción grupal son lo mismo que las órbitas dinámicas.
Ejemplos de
Órbita crítica de un sistema dinámico discreto basado en polinomio cuadrático complejo . Tiende a atraer débilmente el punto fijo con un multiplicador = 0,99993612384259
la órbita crítica tiende a atraer débilmente al punto. Se puede ver una espiral desde que atrae un punto fijo hasta que repele el punto fijo (z = 0), que es un lugar con alta densidad de curvas de nivel.
- La órbita de un punto de equilibrio es una órbita constante.
Estabilidad de órbitas
Una clasificación básica de órbitas es
- órbitas constantes o puntos fijos
- órbitas periódicas
- órbitas no constantes y no periódicas
Una órbita puede fallar al cerrarse de dos maneras. Podría ser una órbita asintóticamente periódica si converge a una órbita periódica. Tales órbitas no están cerradas porque nunca se repiten realmente, sino que se acercan arbitrariamente a una órbita repetitiva. Una órbita también puede ser caótica . Estas órbitas se acercan arbitrariamente al punto inicial, pero nunca llegan a converger a una órbita periódica. Muestran una dependencia sensible de las condiciones iniciales , lo que significa que pequeñas diferencias en el valor inicial causarán grandes diferencias en los puntos futuros de la órbita.
Hay otras propiedades de las órbitas que permiten diferentes clasificaciones. Una órbita puede ser hiperbólica si los puntos cercanos se acercan o divergen de la órbita a una velocidad exponencial.
Ver también
- Conjunto errante
- Método de espacio de fase
- Gráfico de telaraña o diagrama de Verhulst
- Puntos periódicos de asignaciones cuadráticas complejas y multiplicador de órbita
- Retrato de la órbita
Referencias
- Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1996). Introducción a la teoría moderna de sistemas dinámicos . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5.
- Perko, Lawrence (2001). "Órbitas periódicas, ciclos límite y ciclos separadores" . Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (Tercera ed.). Nueva York: Springer. págs. 202–211. ISBN 0-387-95116-4.