En la asignatura matemática de la teoría de nudos , el número medio de cruces de un nudo es el resultado de promediar en todas las direcciones el número de cruces en un diagrama de nudos del nudo obtenido por proyección sobre el plano ortogonal a la dirección. El número de cruces promedio se ve a menudo en el contexto de la teoría del nudo físico .
Definición
Más precisamente, si K es un nudo suave, entonces para casi todos los vectores unitarios v que dan la dirección, la proyección ortogonal sobre el plano perpendicular av da un diagrama de nudos , y podemos calcular el número de cruce, denotado n ( v ). El número de cruce promedio se define entonces como la integral sobre la esfera unitaria: [1]
donde dA es la forma de área en la 2-esfera. La integral tiene sentido porque el conjunto de direcciones donde la proyección no da un diagrama de nudos es un conjunto de medidas cero y n ( v ) es localmente constante cuando se define.
Formulación alternativa
Una definición menos intuitiva pero computacionalmente útil es una integral similar a la integral de enlace de Gauss .
Se dará una derivación análoga a la derivación de la integral de enlace. Sea K un nudo, parametrizado por
Luego defina el mapa desde el toro hasta las 2 esferas.
por
(Técnicamente, es necesario evitar la diagonal: puntos donde s = t .) Queremos contar el número de veces que un punto (dirección) está cubierto por g . Esto contará, para una dirección genérica, el número de cruces en un diagrama de nudos dado al proyectar a lo largo de esa dirección. Usando el grado del mapa , como en la integral de enlace, se contaría el número de cruces con signo , dando el retorcimiento . Utilice g para tirar hacia atrás de la forma del área en S 2 al toroide T 2 = S 1 × S 1 . En lugar de integrar esta forma, integre el valor absoluto de la misma, para evitar el problema de la señal. La integral resultante es [2]
Referencias
- ^ Diao, Ernst 2001 .
- ^ O'Hara .
Otras lecturas
- Buck, Gregory; Simon, Jonathan (1999), "Espesor y número de nudos de cruce", Topología y sus aplicaciones , 91 (3): 245–257, doi : 10.1016 / S0166-8641 (97) 00211-3 , MR 1666650.
- Ernst, C .; Por, A. (2012), "Número promedio de cruces, curvatura total y longitud de cuerda de nudos gruesos", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 21 (3): 1250028, 9, doi : 10.1142 / S0218216511009601 , MR 2887660.
- Diao, Yuanan; Ernst, Claus (2001). "Los números de cruce de nudos y eslabones gruesos". En Jorgr Alberto Calvo; Kennrth C. Millet; Eric J. Rawdon (eds.). Nudos físicos: anudar, enlazar y doblar objetos geométricos en R 3 . Matemáticas contemporáneas. 304 . Las Vegas, Nevada. ISBN 0-8218-3200-X..
- Jun, O'Hara. Energía de nudos y geometría conforme . Serie K&E sobre nudos y todo. 33 . 5 Toh Tuck Link, Singapur: World Scientific Publixhing Co. Pte. Ltd. ISBN 981-238-316-6.Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace ).