En matemáticas , lógica y filosofía de las matemáticas , algo que es impredicativo es una definición autorreferencial . Hablando en términos generales, una definición es impredicativa si invoca (menciona o cuantifica sobre) el conjunto que se está definiendo, o (más comúnmente) otro conjunto que contiene la cosa que se está definiendo. No existe una definición precisa generalmente aceptada de lo que significa ser predicativo o impredicativo. Los autores han dado definiciones diferentes pero relacionadas.
Lo opuesto a la impredicatividad es la predicatividad, que esencialmente implica la construcción de teorías estratificadas (o ramificadas) en las que la cuantificación en niveles inferiores da como resultado variables de algún tipo nuevo, que se distinguen de los tipos inferiores sobre los que se extiende la variable. Un ejemplo prototípico es la teoría de tipos intuicionista , que conserva la ramificación para descartar la impredicatividad.
La paradoja de Russell es un ejemplo famoso de una construcción impredicativa, es decir, el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. La paradoja es que tal conjunto no puede existir: si existiera, la pregunta podría plantearse si se contiene a sí mismo o no; si lo hace, entonces por definición no debería, y si no existe, entonces por definición debería.
El límite inferior más grande de un conjunto X , glb ( X ) , también tiene una definición impredicativa: y = glb ( X ) si y solo si para todos los elementos x de X , y es menor o igual ax , y cualquier z menor que o igual a todos los elementos de X es menor o igual que y . Esta definición cuantifica sobre el conjunto (potencialmente infinito , dependiendo del orden en cuestión) cuyos miembros son los límites inferiores de X, uno de los cuales es el glb en sí. Por tanto, el predicativismo rechazaría esta definición. [1]
Propongo llamar no predicativas a las normas (que contienen una variable) que no definen clases ; las que definen clases las llamaré predicativas .
( Russell 1907 , p. 34) (Russell usó "norma" para referirse a una proposición: más o menos algo que puede tomar los valores "verdadero" o "falso").