Uniformización (teoría de conjuntos)

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , el axioma de uniformización es una forma débil del axioma de elección . Establece que si es un subconjunto de , donde y son espacios polacos , entonces hay un subconjunto de que es una función parcial de a , y cuyo dominio (el conjunto de todos los que existen) es igual a${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X \ times Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle f (x)}$

Esta función se denomina función de uniformización o uniformización de .${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

Para ver la relación con el axioma de elección, observe que se puede pensar que asocia, a cada elemento de , un subconjunto de . Una uniformización de entonces elige exactamente un elemento de cada subconjunto, siempre que el subconjunto no esté vacío . Por lo tanto, permitir conjuntos arbitrarios X e Y (en lugar de solo espacios polacos) haría que el axioma de uniformización fuera equivalente al axioma de elección. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle R}$

Se dice que una clase puntual tiene la propiedad de uniformización si cada relación en puede uniformarse mediante una función parcial en . La propiedad de uniformización está implícita en la propiedad de escala , al menos para clases puntuales adecuadas de una determinada forma.${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$ ${\ Displaystyle R}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$

Se deduce de ZFC solo que y tiene la propiedad de uniformización. De la existencia de suficientes cardenales grandes se sigue que${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2} ^ {1}}$

Uniformización de la relación R (celeste) mediante la función f (rojo).