En la disciplina matemática de la teoría descriptiva de conjuntos , una escala es un cierto tipo de objeto definido en un conjunto de puntos en algún espacio polaco (por ejemplo, una escala podría definirse en un conjunto de números reales ). Las escalas se aislaron originalmente como un concepto en la teoría de la uniformización , [1] pero han encontrado una amplia aplicabilidad en la teoría de conjuntos descriptiva, con aplicaciones tales como establecer límites en las posibles longitudes de los ordenamientos de una determinada complejidad y mostrar (bajo ciertos supuestos) que hay conjuntos contables más grandes de ciertas complejidades.
Definicion formal
Dado un conjunto de puntos A contenido en algún espacio de producto
donde cada X k es el espacio de Baire o un conjunto discreto infinito numerable, decimos que una norma en A es un mapa de A en los números ordinales . Cada norma tiene un pre-ordenamiento asociado , donde un elemento de A precede a otro elemento si la norma del primero es menor que la norma del segundo.
Una escala en A es una colección infinita de normas
con las siguientes propiedades:
- Si la secuencia x i es tal que
- x i es un elemento de A para cada número natural i , y
- x i converge a un elemento x en el espacio del producto X , y
- para cada número natural n hay un ordinal λ n tal que φ n ( x i ) = λ n para todo i suficientemente grande , entonces
- x es un elemento de A , y
- para cada n , φ n (x) ≤λ n . [2]
Por sí mismo, al menos concedido el axioma de elección , la existencia de una escala en un PointSet es trivial, ya que A puede ser bien ordenada y cada φ n puede simplemente enumerar A . Para que el concepto sea útil, se debe imponer un criterio de definibilidad a las normas (individualmente y en conjunto). Aquí "definibilidad" se entiende en el sentido habitual de la teoría descriptiva de conjuntos; no tiene por qué ser definible en un sentido absoluto, sino que indica pertenencia a alguna clase puntual de conjuntos de reales. Las normas φ n en sí mismas no son conjuntos de reales, pero los correspondientes ordenamientos previos sí lo son (al menos en esencia).
La idea es que, para una clase de puntos dada Γ, queremos que los ordenes previos por debajo de un punto dado en A se representen uniformemente como un conjunto en Γ y como uno en la clase de puntos dual de Γ, en relación con el punto "más grande" que es un elemento de A . Formalmente, decimos que los φ n forman una escala Γ en A si forman una escala en A y hay relaciones ternarias S y T tales que, si y es un elemento de A , entonces
donde S está en Γ y T está en la clase de punto dual de Γ (es decir, el complemento de T está en Γ). [3] Observe aquí que pensamos en φ n ( x ) como ∞ siempre que x ∉ A ; así el φ condición n ( x ) ≤φ n ( Y ), para y ∈ A , también implica x ∈ A .
La definición no implica que la colección de normas esté en la intersección de Γ con la clase de punto dual de Γ. Esto es porque el de tres vías de equivalencia es condicional en y ser un elemento de A . Para y no en A , podría darse el caso de que uno o ambos de S (n, x, y) o T (n, x, y) no se cumplan, incluso si x está en A (y por lo tanto automáticamente φ n ( x ) ≤φ n ( y ) = ∞).
Aplicaciones
Propiedad de escala
La propiedad de escala es un fortalecimiento de la propiedad de ordenamiento previo . Para las clases de puntos de una determinada forma, implica que las relaciones en la clase de puntos dada tienen una uniformización que también está en la clase de puntos.
Periodicidad
Notas
Referencias
- Moschovakis, Yiannis N. (1980), Teoría de conjuntos descriptivos , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-70199-0
- Kechris, Alexander S .; Moschovakis, Yiannis N. (2008), "Notas sobre la teoría de escalas", en Kechris, Alexander S .; Benedikt Löwe ; Steel, John R. (eds.), Games, Scales and Suslin Cardinals: The Cabal Seminar, Volumen I , Cambridge University Press, págs. 28–74, ISBN 978-0-521-89951-2