En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , una clase de puntos es una colección de conjuntos de puntos , donde normalmente se entiende que un punto es un elemento de algún espacio polaco perfecto . En la práctica, una clase puntual suele caracterizarse por algún tipo de propiedad de definibilidad ; por ejemplo, la colección de todos los conjuntos abiertos en alguna colección fija de espacios polacos es una clase puntual. (Un conjunto abierto puede verse como definible en cierto sentido porque no puede ser una colección de puntos puramente arbitraria; para cualquier punto del conjunto, todos los puntos suficientemente cercanos a ese punto también deben estar en el conjunto).
Las clases puntuales encuentran aplicación en la formulación de muchos principios y teoremas importantes de la teoría de conjuntos y el análisis real . Los principios sólidos de la teoría de conjuntos pueden enunciarse en términos de la determinación de varias clases puntuales, lo que a su vez implica que los conjuntos en esas clases puntuales (oa veces más grandes) tienen propiedades de regularidad como la mensurabilidad de Lebesgue (y de hecho la mensurabilidad universal ), propiedad de Baire. , y la propiedad de conjunto perfecta .
Marco básico
En la práctica, los teóricos de conjuntos descriptivos a menudo simplifican las cosas trabajando en un espacio polaco fijo, como el espacio de Baire o, a veces , el espacio de Cantor , cada uno de los cuales tiene la ventaja de ser de dimensión cero y, de hecho, homeomórfico para sus poderes finitos o contables, de modo que las consideraciones de la dimensionalidad nunca surge. Yiannis Moschovakis proporciona una mayor generalidad al arreglar de una vez por todas una colección de espacios polacos subyacentes, incluido el conjunto de todos los naturales, el conjunto de todos los reales, el espacio de Baire y el espacio de Cantor, y de otro modo permitiendo al lector incluir cualquier polaco perfecto deseado. espacio. Luego define un espacio de producto como cualquier producto cartesiano finito de estos espacios subyacentes. Entonces, por ejemplo, la clase de puntosde todos los conjuntos abiertos significa la colección de todos los subconjuntos abiertos de uno de estos espacios de productos. Este enfoque previenede ser una clase adecuada , evitando al mismo tiempo una especificidad excesiva en cuanto a los espacios polacos particulares que se están considerando (dado que el enfoque es la colección de conjuntos abiertos, no sobre los espacios en sí).
Clases de puntos en negrita
Las clases de puntos en la jerarquía de Borel , y en la jerarquía proyectiva más compleja , están representadas por letras griegas sub-y super-guionadas en negrita ; por ejemplo,es la clase puntual de todos los conjuntos cerrados ,es la clase puntual de todos los conjuntos F σ ,es la colección de todos los conjuntos que son simultáneamente F σ y G δ , yes la clase puntual de todos los conjuntos analíticos .
Los conjuntos en tales clases puntuales necesitan ser "definibles" sólo hasta cierto punto. Por ejemplo, todos los conjuntos singleton en un espacio polaco están cerrados y, por lo tanto,. Por tanto, no puede ser que cadael conjunto debe ser "más definible" que un elemento arbitrario de un espacio polaco (digamos, un número real arbitrario o una secuencia numerable arbitraria de números naturales). Las clases de puntos en negrita, sin embargo, pueden (y en la práctica normalmente lo hacen) requerir que los conjuntos de la clase sean definibles en relación con algún número real, tomado como un oráculo . En ese sentido, la pertenencia a una clase de puntos en negrita es una propiedad de definibilidad, aunque no es definibilidad absoluta, sino sólo definibilidad con respecto a un número real posiblemente indefinible.
Las clases de puntos en negrita, o al menos las que se consideran normalmente, se cierran bajo Reducibilidad de Wadge ; es decir, dado un conjunto en la clase de puntos, su imagen inversa bajo una función continua (desde un espacio de producto hasta el espacio del cual el conjunto dado es un subconjunto) también está en la clase de puntos dada. Por lo tanto, una clase de puntos en negrita es una unión cerrada hacia abajo de grados de Wadge .
Clases de puntos de Lightface
Las jerarquías de Borel y proyectiva tienen análogos en la teoría de conjuntos descriptiva efectiva en la que la propiedad de definibilidad ya no se relativiza a un oráculo, sino que se hace absoluta. Por ejemplo, si uno fija alguna colección de vecindarios abiertos básicos (digamos, en el espacio de Baire, la colección de conjuntos de la forma { x ∈ω ω | s es un segmento inicial de x } para cada secuencia finita fija s de números naturales) , luego el abierto, o, los conjuntos pueden caracterizarse como todas las uniones (arbitrarias) de vecindarios abiertos básicos. El análogo conjuntos, con una cara clara , ya no son uniones arbitrarias de estos barrios, sino uniones computables de ellos. Es decir, un conjunto es lightface, también llamado efectivamente abierto , si hay un conjunto computable S de secuencias finitas de naturales tales que el conjunto dado es la unión de los conjuntos { x ∈ω ω | s es un segmento inicial de x } para s en S .
Un conjunto es lightface si es el complemento de un colocar. Así cadael conjunto tiene al menos un índice , que describe la función computable que enumera los conjuntos abiertos básicos a partir de los cuales está compuesto; de hecho, tendrá infinitos índices de este tipo. De manera similar, un índice para unconjunto B describe la función computable enumerar los conjuntos abiertos básicos en el complemento de B .
Un conjunto A es lightface si es una unión de una secuencia computable de conjuntos (es decir, hay una enumeración computable de índices de conjuntos tales que A es la unión de estos conjuntos). Esta relación entre los conjuntos de caras de luz y sus índices se utiliza para extender la jerarquía de Borel de la cara de luz a lo transfinito, a través de ordinales recursivos . Esto produce esa jerarquía hiperaritmética , que es el análogo de la cara clara de la jerarquía de Borel. (Los niveles finitos de la jerarquía hiperaritmética se conocen como jerarquía aritmética ).
Se puede aplicar un tratamiento similar a la jerarquía proyectiva. Su análogo de lightface se conoce como la jerarquía analítica .
Resumen
Cada clase es al menos tan grande como las clases superiores.
Lightface | Negrita | ||
Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (a veces lo mismo que Δ0 1) | Σ0 0= Π0 0= Δ0 0 (si está definido) | ||
Δ0 1= recursivo | Δ0 1= abierto | ||
Σ0 1= recursivamente enumerable | Π0 1 = recursivamente enumerable | Σ0 1= G = abierto | Π0 1= F = cerrado |
Δ0 2 | Δ0 2 | ||
Σ0 2 | Π0 2 | Σ0 2= F σ | Π0 2= G δ |
Δ0 3 | Δ0 3 | ||
Σ0 3 | Π0 3 | Σ0 3= G δσ | Π0 3= F σδ |
⋮ | ⋮ | ||
Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0= aritmético | Σ0 <ω= Π0 <ω= Δ0 <ω= Σ1 0= Π1 0= Δ1 0 = aritmética en negrita | ||
⋮ | ⋮ | ||
Δ0 α(α recursivo ) | Δ0 α(α contable ) | ||
Σ0 α | Π0 α | Σ0 α | Π0 α |
⋮ | ⋮ | ||
Σ0 ωCK 1 = Π0 ωCK 1 = Δ0 ωCK 1 = Δ1 1= hiperaritmético | Σ0 ω 1= Π0 ω 1= Δ0 ω 1= Δ1 1= B = Borel | ||
Σ1 1 = analítica de cara clara | Π1 1 = coanalítico de cara clara | Σ1 1= A = analítico | Π1 1= CA = coanalítico |
Δ1 2 | Δ1 2 | ||
Σ1 2 | Π1 2 | Σ1 2 = PCA | Π1 2 = CPCA |
Δ1 3 | Δ1 3 | ||
Σ1 3 | Π1 3 | Σ1 3 = PCPCA | Π1 3 = CPCPCA |
⋮ | ⋮ | ||
Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0= analítico | Σ1 <ω= Π1 <ω= Δ1 <ω= Σ2 0= Π2 0= Δ2 0= P = proyectiva | ||
⋮ | ⋮ |
Referencias
- Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos . Holanda Septentrional. ISBN 0-444-70199-0.