En lógica matemática , un esquema de axioma (plural: esquemas de axioma o esquemas de axioma ) generaliza la noción de axioma .
Un esquema de axioma es una fórmula en el metalenguaje de un sistema axiomático , en la que aparecen una o más variables esquemáticas . Estas variables, que son construcciones metalingüísticas, representan cualquier término o subfórmula del sistema, que puede ser necesario o no para satisfacer determinadas condiciones. A menudo, tales condiciones requieren que ciertas variables sean libres , o que ciertas variables no aparezcan en la subfórmula o término [ cita requerida ] .
Dado que el número de posibles subfórmulas o términos que se pueden insertar en lugar de una variable esquemática es numerablemente infinito , un esquema de axioma representa un conjunto numerablemente infinito de axiomas. Este conjunto normalmente se puede definir de forma recursiva . Se dice que una teoría que puede axiomatizarse sin esquemas está finitamente axiomatizada . Las teorías que pueden axiomatizarse de manera finita se consideran un poco más metamatemáticamente elegantes, incluso si son menos prácticas para el trabajo deductivo. [ cita requerida ]
Dos ejemplos bien conocidos de esquemas de axiomas son:
Czesław Ryll-Nardzewski demostró que la aritmética de Peano no se puede axiomatizar de forma finita, y Richard Montague demostró que la ZFC no se puede axiomatizar de forma finita. [1] Por tanto, los esquemas de axioma no pueden eliminarse de estas teorías. Este es también el caso de algunas otras teorías axiomáticas en matemáticas, filosofía, lingüística, etc.
Todos los teoremas de ZFC son también teoremas de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel , pero este último puede ser axiomatizado de forma finita. La teoría de conjuntos Nuevos Fundamentos se puede axiomatizar finamente, pero solo con cierta pérdida de elegancia.
Las variables esquemáticas en la lógica de primer orden suelen ser trivialmente eliminables en la lógica de segundo orden , porque una variable esquemática suele ser un marcador de posición para cualquier propiedad o relación sobre los individuos de la teoría. Este es el caso de los esquemas de Inducción y Reemplazo mencionados anteriormente. La lógica de orden superior permite que las variables cuantificadas abarquen todas las propiedades o relaciones posibles.
Este artículo incluye una lista de referencias generales , pero permanece en gran parte sin verificar porque carece de suficientes citas en línea correspondientes . ( Mayo de 2016 ) |