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La simetría rotacional , también conocida como simetría radial en biología, es la propiedad que tiene una forma cuando se ve igual después de una rotación parcial. El grado de simetría rotacional de un objeto es el número de orientaciones distintas en las que se ve exactamente igual para cada rotación.
Formalmente, la simetría rotacional es simetría con respecto a algunas o todas las rotaciones en el espacio euclidiano m- dimensional . Las rotaciones son isometrías directas , es decir, isometrías que conservan la orientación . Por lo tanto, un grupo de simetría de simetría rotacional es un subgrupo de E + ( m ) (ver grupo euclidiano ).
La simetría con respecto a todas las rotaciones sobre todos los puntos implica simetría de traslación con respecto a todas las traslaciones, por lo que el espacio es homogéneo y el grupo de simetría es el conjunto E ( m ). Con la noción modificada de simetría para campos vectoriales, el grupo de simetría también puede ser E + ( m ).
Para la simetría con respecto a las rotaciones alrededor de un punto, podemos tomar ese punto como origen. Estas rotaciones forman el grupo ortogonal especial SO ( m ), el grupo de matrices ortogonales m × m con determinante 1. Para m = 3 este es el grupo de rotación SO (3) .
En otra definición de la palabra, el grupo de rotación de un objeto es el grupo de simetría dentro de E + ( n ), el grupo de isometrías directas ; en otras palabras, la intersección del grupo de simetría completo y el grupo de isometrías directas. Para los objetos quirales , es lo mismo que el grupo de simetría completo.
Las leyes de la física son SO (3) -invariantes si no distinguen diferentes direcciones en el espacio. Debido al teorema de Noether , la simetría rotacional de un sistema físico es equivalente a la ley de conservación del momento angular .
La simetría rotacional de orden n , también llamada simetría rotacional n- veces , o simetría rotacional discreta de orden n , con respecto a un punto particular (en 2D) o eje (en 3D) significa que la rotación en un ángulo de 360 ° / n (180 °, 120 °, 90 °, 72 °, 60 °, 51 3 ⁄ 7 °, etc.) no cambia el objeto. Una simetría de "1 pliegue" no es simetría (todos los objetos se parecen después de una rotación de 360 °).
La notación para la simetría n- veces es C n o simplemente " n ". El grupo de simetría real se especifica mediante el punto o eje de simetría, junto con la n . Para cada punto o eje de simetría, el tipo de grupo abstracto es un grupo cíclico de orden n , Z n . Aunque para este último también se utiliza la notación C n , conviene distinguir la C n geométrica y la abstracta : existen otros grupos de simetría del mismo tipo de grupo abstracto que son geométricamente diferentes, ver grupos de simetría cíclica en 3D .
El dominio fundamental es un sector de 360 ° / n.
Ejemplos sin simetría de reflexión adicional :
C n es el grupo de rotación de un polígono regular de n lados en 2D y de una pirámide regular de n lados en 3D.
Si hay, por ejemplo, simetría rotacional con respecto a un ángulo de 100 °, entonces también con respecto a uno de 20 °, el máximo común divisor de 100 ° y 360 °.
Un objeto 3D típico con simetría rotacional (posiblemente también con ejes perpendiculares) pero sin simetría especular es una hélice .
C2 ( más ) | C3 ( más ) | C4 ( más ) | C5 ( más ) | C6 ( más ) |
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Fractal de doble péndulo | Señal de tráfico rotonda | Estrella del Bicentenario de EE. UU. | ||
La posición inicial en shogi | Diseño de cuernos para beber entrelazados de Snoldelev Stone |
Para simetría discreta con múltiples ejes de simetría a través del mismo punto, existen las siguientes posibilidades:
En el caso de los sólidos platónicos , los ejes de 2 pliegues pasan por los puntos medios de los bordes opuestos, y el número de ellos es la mitad del número de bordes. Los otros ejes pasan por vértices opuestos y por centros de caras opuestas, excepto en el caso del tetraedro, donde los ejes triples pasan cada uno por un vértice y el centro de una cara.
La simetría rotacional con respecto a cualquier ángulo es, en dos dimensiones, simetría circular . El dominio fundamental es una media línea .
En tres dimensiones podemos distinguir la simetría cilíndrica y la simetría esférica (no cambia al girar alrededor de un eje, ni para cualquier giro). Es decir, sin dependencia del ángulo usando coordenadas cilíndricas y sin dependencia de ninguno de los ángulos usando coordenadas esféricas . El dominio fundamental es un semiplano a través del eje y una semilínea radial, respectivamente. Axisimétrico o axisimétrico son adjetivos que se refieren a un objeto que tiene simetría cilíndrica, o axisimetría (es decir, simetría rotacional con respecto a un eje central) como una rosquilla ( toro). Un ejemplo de simetría esférica aproximada es la Tierra (con respecto a la densidad y otras propiedades físicas y químicas).
En 4D, la simetría rotacional continua o discreta alrededor de un plano corresponde a la simetría rotacional 2D correspondiente en cada plano perpendicular, alrededor del punto de intersección. Un objeto también puede tener simetría rotacional alrededor de dos planos perpendiculares, por ejemplo, si es el producto cartesiano de dos figuras 2D de simetría rotacional, como en el caso, por ejemplo, del duocilindro y varios duoprismas regulares .
Disposición dentro de una celda primitiva de rotocentros de 2 y 4 veces. Un dominio fundamental se indica en amarillo. | Disposición dentro de una celda primitiva de rotocentros de 2, 3 y 6 pliegues, solos o en combinación (considere el símbolo de 6 pliegues como una combinación de un símbolo de 2 y 3 pliegues); en el caso de simetría doble solamente, la forma del paralelogramo puede ser diferente. Para el caso p6, un dominio fundamental se indica en amarillo. |
La simetría rotacional doble junto con la simetría traslacional simple es uno de los grupos Frieze . Hay dos rotocentros [ definición necesaria ] por celda primitiva .
Junto con la simetría de traslación doble, los grupos de rotación son los siguientes grupos de papel tapiz , con ejes por celda primitiva:
La escala de una celosía divide el número de puntos por unidad de área por el cuadrado del factor de escala. Por lo tanto, el número de rotocentros de 2, 3, 4 y 6 veces por celda primitiva es 4, 3, 2 y 1, respectivamente, incluyendo nuevamente 4 veces como un caso especial de 2 veces, etc.
La simetría rotacional de 3 veces en un punto y 2 veces en otro (o lo mismo en 3D con respecto a los ejes paralelos) implica el grupo de rotación p6, es decir, simetría de traslación doble y simetría de rotación de 6 veces en algún punto (o, en 3D, eje paralelo). La distancia de traslación de la simetría generada por uno de esos pares de rotocentros es multiplicada por su distancia.
Plano euclidiano | Plano hiperbólico |
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Mosaico triangular Hexakis , un ejemplo de p6, [6,3] + , (632) (con colores) y p6m, [6,3], (* 632) (sin colores); las líneas son ejes de reflexión si se ignoran los colores, y un tipo especial de eje de simetría si no se ignoran los colores: la reflexión revierte los colores. Se pueden distinguir cuadrículas de líneas rectangulares en tres orientaciones. | Ordene 3-7 kisrhombille , un ejemplo de simetría [7,3] + (732) y [7,3], (* 732) (sin colores) |