En matemáticas , se dice que una función definida en un espacio de producto interno tiene invariancia rotacional si su valor no cambia cuando se aplican rotaciones arbitrarias a su argumento.
Matemáticas
Funciones
Por ejemplo, la función
es invariante bajo rotaciones del plano alrededor del origen, porque para un conjunto de coordenadas rotado a través de cualquier ángulo θ
la función, después de alguna cancelación de términos, toma exactamente la misma forma
La rotación de coordenadas se puede expresar usando la forma matricial usando la matriz de rotación ,
o simbólicamente x ′ = Rx . Simbólicamente, la invariancia de rotación de una función de valor real de dos variables reales es
En palabras, la función de las coordenadas rotadas toma exactamente la misma forma que tenía con las coordenadas iniciales, la única diferencia es que las coordenadas rotadas reemplazan a las iniciales. Para una función de valor real de tres o más variables reales , esta expresión se extiende fácilmente usando matrices de rotación apropiadas.
El concepto también se extiende a una función f con valores vectoriales de una o más variables;
En todos los casos anteriores, los argumentos (aquí llamados "coordenadas" para concreción) se rotan, no la función en sí.
Operadores
Para una función
que mapea los elementos de un subconjunto X de la recta real ℝ a sí mismo, invariancia rotacional también puede significar que la función conmuta con rotaciones de elementos en X . Esto también se aplica a un operador que actúa en tales funciones. Un ejemplo es el operador bidimensional de Laplace
que actúa sobre una función f para obtener otra función ∇ 2 f . Este operador es invariante bajo rotaciones.
Si g es la función g ( p ) = f ( R ( p )), donde R es cualquier rotación, entonces (∇ 2 g ) ( p ) = (∇ 2 f ) ( R ( p )); es decir, girar una función simplemente gira su laplaciano.
Física
En física , si un sistema se comporta igual independientemente de cómo esté orientado en el espacio, entonces su Lagrangiano es invariante en rotación. Según el teorema de Noether , si la acción (la integral en el tiempo de su lagrangiano) de un sistema físico es invariante bajo rotación, entonces se conserva el momento angular .
Aplicación a la mecánica cuántica
En mecánica cuántica , la invariancia rotacional es la propiedad de que después de una rotación el nuevo sistema todavía obedece a la ecuación de Schrödinger . Es decir
para cualquier rotación R . Dado que la rotación no depende explícitamente del tiempo, se conmuta con el operador de energía. Por tanto, para la invariancia rotacional debemos tener [ R , H ] = 0.
Para rotaciones infinitesimales (en el plano xy para este ejemplo; se puede hacer de la misma manera para cualquier plano) por un ángulo dθ el operador de rotación (infinitesimal) es
luego
por lo tanto
en otras palabras, se conserva el momento angular .
Ver también
Referencias
- Stenger, Víctor J. (2000). Realidad atemporal . Libros de Prometeo. Especialmente chpt. 12. No técnico.