Polinomio genérico
En matemáticas , un polinomio genérico se refiere generalmente a un polinomio cuyos coeficientes son indeterminados . Por ejemplo, si a , byc son indeterminados , el polinomio genérico de grado dos en x es
Sin embargo, en la teoría de Galois , una rama del álgebra , y en este artículo, el término polinomio genérico tiene un significado diferente, aunque relacionado: un polinomio genérico para un grupo finito G y un campo F es un polinomio monico P con coeficientes en el campo de funciones racionales L = F ( t 1 , ..., t n ) en n indeterminados sobre F , de modo que el campo de división M de P tieneGrupo de Galois G sobre L , y de tal manera que cada extensión de K / F con Galois grupo G se puede obtener como el campo de la división de un polinomio que es la especialización de P resultante de ajuste de los n indeterminados a n elementos de F . Esto a veces se denomina F-genérico o relativo al campo F ; un polinomio Q - genérico , que es genérico en relación con los números racionales, se llama simplemente genérico.
La existencia, y especialmente la construcción, de un polinomio genérico para un grupo de Galois dado proporciona una solución completa al problema de Galois inverso para ese grupo. Sin embargo, no todos los grupos de Galois tienen polinomios genéricos, un contraejemplo es el grupo cíclico de orden ocho.
La dimensión genérica para un grupo finito G sobre un campo F , denotado , se define como el número mínimo de parámetros en un polinomio genérico para G sobre F , o si no existe un polinomio genérico.
