Diferencia finita
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f ( x + b ) − f ( x + a ) . Si una diferencia finita se divide por b − a , se obtiene un cociente de diferencias . La aproximación de derivadas por diferencias finitas juega un papel central en los métodos de diferencias finitas para la solución numérica de ecuaciones diferenciales , especialmente problemas de valores en la frontera .
El operador de diferencia , comúnmente denotado, es el operador que asigna una función f a la función definida por
![{\ estilo de visualización \ Delta [f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978a8399050eeaf584e6c0f7a57196f57d9bdb71)
Una ecuación en diferencias es una ecuación funcional que involucra el operador de diferencias finitas de la misma manera que una ecuación diferencial involucra derivadas . Hay muchas similitudes entre las ecuaciones en diferencias y las ecuaciones diferenciales, especialmente en los métodos de resolución. Ciertas relaciones de recurrencia se pueden escribir como ecuaciones en diferencias reemplazando la notación de iteración con diferencias finitas.
En el análisis numérico , las diferencias finitas se usan ampliamente para aproximar derivadas , y el término "diferencia finita" se usa a menudo como abreviatura de "aproximación de derivadas por diferencia finita". [1] [2] [3] Las aproximaciones de diferencias finitas son cocientes de diferencias finitas en la terminología empleada anteriormente.
Las diferencias finitas fueron introducidas por Brook Taylor en 1715 y también han sido estudiadas como objetos matemáticos autónomos abstractos en trabajos de George Boole (1860), LM Milne-Thomson (1933) y Károly Jordan (1939). Las diferencias finitas remontan sus orígenes a uno de los algoritmos de Jost Bürgi ( c. 1592 ) y al trabajo de otros, incluido Isaac Newton . El cálculo formal de diferencias finitas puede verse como una alternativa al cálculo de infinitesimales . [4]
Generalmente se consideran tres tipos básicos: diferencias finitas hacia delante , hacia atrás y central . [1] [2] [3]
