En el subcampo del álgebra abstracta conocido como teoría de módulos , un módulo R derecho M se llama módulo balanceado (o se dice que tiene la propiedad de doble centralizador ) si cada endomorfismo del grupo abeliano M que conmuta con todos los R -endomorfismos de M es dado por multiplicación por un elemento de anillo. Explícitamente, para cualquier endomorfismo aditivo f , si fg = gf para cada endomorfismo R g , entonces existe una r enR tal que f ( x ) = xr para todos x en M . En el caso de módulos no balanceados, existirá una f que no se pueda expresar de esta manera.
En el lenguaje de los centralizadores, un módulo balanceado es aquel que satisface la conclusión del teorema del doble centralizador , es decir, los únicos endomorfismos del grupo M que conmuta con todos los endomorfismos R de M son los inducidos por la multiplicación correcta por elementos del anillo.
Un anillo se llama equilibrado si todos los módulos R derechos están equilibrados. [1] Resulta que estar equilibrado es una condición simétrica de izquierda a derecha en los anillos, por lo que no es necesario anteponerlo con "izquierda" o "derecha".
El estudio de anillos y módulos equilibrados es una consecuencia del estudio de anillos QF-1 realizado por CJ Nesbitt y RM Thrall . Este estudio fue continuado en la disertación de VP Camillo , y luego se desarrolló por completo. El artículo ( Dlab y Ringel 1972 ) ofrece una visión particularmente amplia con muchos ejemplos. Además de estas referencias, K. Morita y H. Tachikawa también han contribuido con resultados publicados y no publicados. En las referencias se puede encontrar una lista parcial de los autores que contribuyen a la teoría de los módulos y anillos equilibrados.
Ejemplos y propiedades
- Ejemplos de
- Los anillos semisimple están equilibrados. [2]
- Todo ideal de derecho distinto de cero sobre un anillo simple está equilibrado. [3]
- Cada módulo fiel sobre un anillo cuasi-Frobenius está equilibrado. [4]
- El teorema del doble centralizador para anillos artinianos rectos establece que cualquier módulo R derecho simple está equilibrado.
- El artículo ( Dlab & Ringel 1972 ) contiene numerosas construcciones de módulos no balanceados.
- Se estableció en ( Nesbitt & Thrall 1946 ) que los anillos uniseriales están equilibrados. Por el contrario, un anillo equilibrado que se genera finitamente como un módulo sobre su centro es uniserial. [5]
- Entre los anillos artinianos conmutativos, los anillos equilibrados son exactamente los anillos cuasi-Frobenius . [6]
- Propiedades
- Estar "equilibrado" es una propiedad categórica de los módulos, es decir, se conserva mediante la equivalencia de Morita . Explícitamente, si F (-) es una equivalencia de Morita de la categoría de módulos R a la categoría de módulos S , y si M está equilibrado, entonces F ( M ) está equilibrado.
- La estructura de los anillos equilibrados también está completamente determinada en ( Dlab y Ringel 1972 ) y se describe en ( Faith 1999 , págs. 222-224).
- En vista del último punto, la propiedad de ser un anillo equilibrado es una propiedad invariante de Morita.
- La pregunta de qué anillos tienen todos los módulos R derechos generados finitamente equilibrados ya ha sido respondida. Esta condición resulta ser equivalente a que el anillo R esté equilibrado. [7]
Notas
- ↑ Las definiciones de anillos y módulos equilibrados aparecen en ( Camillo 1970 ), ( Cunningham y Rutter 1972 ), ( Dlab y Ringel 1972 ) y ( Faith 1999 ).
- ↑ Bourbaki 1973 , §5, No. 4, Corrolaire 2.
- ^ Lam 2001 , p. 37.
- ^ Camillo y Fuller 1972 .
- ^ Faith 1999 , p.223.
- ^ Camillo 1970 , Teorema 21.
- ^ Dlab y Ringel 1972 .
Referencias
- Camillo, Victor P. (1970), "Anillos equilibrados y un problema de Thrall", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 149 : 143–153, doi : 10.1090 / s0002-9947-1970-0260794-0 , ISSN 0002-9947 , MR 0260794
- Bourbaki, Nicolas (1973), Algébre, Cap. 8: Modules et Anneaux Semi-Simples , pág. 50, ISBN 978-2-7056-1261-0
- Camillo, vicepresidente; Fuller, KR (1972), "Álgebras equilibradas y QF-1", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , 34 (2): 373–378, doi : 10.1090 / s0002-9939-1972-0306256-0 , ISSN 0002-9939 , MR 0306256
- Cunningham, RS; Rutter, EA, Jr. (1972), "La propiedad del doble centralizador es categórica", Rocky Mountain J. Math. , 2 (4): 627–629, doi : 10.1216 / rmj-1972-2-4-627 , ISSN 0035-7596 , MR 0310017
- Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1972), "Rings with the double centralizer property" , J. Algebra , 22 (3): 480–501, doi : 10.1016 / 0021-8693 (72) 90163-9 , ISSN 0021-8693 , MR 0306258
- Faith, Carl (1999), Rings and things and a fine array of 20th century asociative álgebra , Mathematical Surveys and Monographs, 65 , Providence, RI: American Mathematical Society, pp. Xxxiv + 422, ISBN 0-8218-0993-8, MR 1657671
- Lam, TY (2001), A first course in non conmutative rings , Graduate Texts in Mathematics, 131 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. Xx + 385, doi : 10.1007 / 978-1-4419-8616 -0 , ISBN 0-387-95183-0, Señor 1838439
- Nesbitt, CJ; Thrall, RM (1946), "Algunos teoremas de anillos con aplicaciones a representaciones modulares", Ann. de Matemáticas. , 2, 47 (3): 551–567, doi : 10.2307 / 1969092 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969092 , MR 0016760