En la rama del álgebra abstracta llamada teoría de anillos , el teorema del doble centralizador puede referirse a cualquiera de varios resultados similares. Estos resultados se refieren al centralizador de un subanillo S de un anillo R , denominado C R ( S ) en este artículo. Siempre ocurre que C R ( C R ( S )) contiene S , y un teorema de doble centralizador da condiciones en R y S que garantizan que C R ( C R (S )) es igual a S .
Declaraciones del teorema
Motivación
El centralizador de un subanillo S de R dado por
Claramente C R ( C R ( S )) ⊇ S , pero no siempre se puede decir que los dos conjuntos son iguales. Los teoremas del doble centralizador dan condiciones bajo las cuales se puede concluir que ocurre la igualdad.
Hay otro caso especial de interés. Deje que M sea un derecho R módulo y darle M lo natural izquierdo E estructura -module, donde E es Final ( M ), el anillo de endomorfismos de grupo abeliano M . Cada mapa m r dado por m r ( x ) = xr crea una endomorphism aditivo de M , es decir, un elemento de E . El mapa r → m r es un homomorfismo de anillo de R en el anillo E , y que denotan la imagen de R dentro de E por R M . Se puede comprobar que el núcleo de este mapa canónico es el aniquilador Ann ( M R ). Por lo tanto, según un teorema de isomorfismo para anillos, R M es isomorfo al cociente anillo R / Ann ( M R ). Claramente, cuando M es un módulo fiel , R y R M son anillos isomorfos.
Entonces, ahora E es un anillo con R M como subanillo, y C E ( R M ) puede formarse. Por definición se puede comprobar que C E ( R M ) = End ( M R ), el anillo de R endomorfismos módulo de M . Así, si ocurre que C E ( C E ( R M )) = R M , este es el mismo que decir C E (End ( M R )) = R M .
Álgebras simples centrales
Quizás la versión más común es la versión para álgebras simples centrales , como aparece en ( Knapp 2007 , p.115):
Teorema : Si A es un álgebra simple central de dimensión finita sobre un campo F y B es una subálgebra simple de A , entonces C A ( C A ( B )) = B , y además las dimensiones satisfacen
Anillos artinianos
La siguiente versión generalizada de los anillos artinianos (que incluyen álgebras de dimensión finita) aparece en ( Isaacs 2009 , p.187). Dado un módulo R simple U R , tomaremos prestada la notación de la sección de motivación anterior, que incluye R U y E = Fin ( U ). Además, escribiremos D = Fin ( U R ) para el subanillo de E que consta de R -homomorfismos. Según el lema de Schur , D es un anillo de división .
Teorema : Sea R un anillo artiniano recto con un módulo derecho simple U R , y sean R U , D y E como en el párrafo anterior. Luego
- .
- Observaciones
- En esta versión, los anillos se eligen con la intención de demostrar el teorema de la densidad de Jacobson . Observe que solo concluye que un subanillo particular tiene la propiedad de centralizador, en contraste con la versión de álgebra simple central.
- Dado que las álgebras se definen normalmente sobre anillos conmutativos, y todos los anillos involucrados anteriores pueden ser no conmutativos, está claro que las álgebras no están necesariamente involucradas.
- Si U es, además, un módulo fiel , de modo que R es un derecho anillo primitivo , entonces R U es un anillo isomorfo a R .
Anillos de identidad polinomiales
En ( Rowen 1980 , p. 154), se da una versión para los anillos de identidad polinomiales . La notación Z ( R ) se utiliza para denotar el centro de un anillo R .
Teorema : Si R es un sencillo anillo identidad polinomio, y A es un (simple Z R ) subálgebra de R , entonces C R ( C R ( A )) = A .
- Observaciones
- Esta versión se puede considerar "entre" la versión de álgebra simple central y la versión de anillo de Artinian. Esto es porque los anillos de identidad de polinomios simples son Artinian, [1] pero a diferencia de la versión Artinian, la conclusión todavía se refiere a todos los subanillos simples centrales de R .
Álgebras de von Neumann
El teorema de los bicommutantes de Von Neumann establece que una * -subálgebra A del álgebra de operadores acotados B ( H ) en un espacio de Hilbert H es un álgebra de von Neumann (es decir, está débilmente cerrada ) si y solo si A = C B ( H ) C B ( H ) (A).
Propiedad de doble centralizador
Se dice que un módulo M tiene la propiedad de doble centralizador o que es un módulo equilibrado si C E ( C E ( R M )) = R M , donde E = Fin ( M ) y R M son los indicados en la sección de motivación. En esta terminología, la versión del anillo artiniano del teorema del doble centralizador establece que los módulos derechos simples para los anillos artinianos derechos son módulos equilibrados.
Notas
- ^ Son anillos de matriz completa sobre anillos de división de identidad polinomial, según Rowen (1980 , p. 151)
Referencias
- Isaacs, I. Martin (2009), Álgebra: un curso de posgrado , Estudios de posgrado en matemáticas , 100 , Providence, RI: American Mathematical Society, págs. Xii + 516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787 Reimpresión del original de 1994
- Knapp, Anthony W. (2007), Álgebra avanzada , Cornerstones, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., págs. Xxiv + 730, ISBN 978-0-8176-4522-9, MR 2360434
- Rowen, Louis Halle (1980), Identidades polinómicas en la teoría de anillos , Matemáticas puras y aplicadas, 84 , Nueva York: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], págs. Xx + 365, ISBN 0-12-599850-3, MR 0576061