En matemáticas, especialmente en teoría de anillos , la clase de anillos de Frobenius y sus generalizaciones son la extensión del trabajo realizado sobre álgebras de Frobenius . Quizás la generalización más importante es la de los anillos cuasi-Frobenius ( anillos QF), que a su vez están generalizados por anillos pseudo-Frobenius derechos (anillos PF) y anillos pseudo-Frobenius finitos derechos (anillos FPF). Otras generalizaciones diversas de anillos cuasi-Frobenius incluyen anillos QF-1 , QF-2 y QF-3 .
Estos tipos de anillos pueden verse como descendientes de álgebras examinadas por Georg Frobenius . Una lista parcial de pioneros en los anillos cuasi-Frobenius incluye a R. Brauer , K. Morita , T. Nakayama , CJ Nesbitt y RM Thrall .
Definiciones
Un anillo R es cuasi-Frobenius si y solo si R satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- R es noetheriano por un lado y autoinyectivo por un lado.
- R es artiniano por un lado y autoinyectivo por un lado.
- Todos los módulos R de la derecha (o todos los de la izquierda) que son proyectivos también son inyectivos .
- Todos los módulos R de la derecha (o todos los de la izquierda) que son inyectivos también son proyectivos.
Un anillo R de Frobenius es uno que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes. Deje que J = J ( R ) Sea el radical Jacobson de R .
- R es cuasi-Frobenius y el zócalo como módulos R derechos .
- R es cuasi-Frobenius ycomo módulos R de la izquierda .
- Como módulos R derechos, y como módulos R de la izquierda.
Para un anillo conmutativo R , los siguientes son equivalentes:
- R es Frobenius
- R es cuasi-Frobenius
- R es una suma directa finita de anillos artinianos locales que tienen ideales mínimos únicos . (Estos anillos son ejemplos de " anillos locales de Gorenstein de dimensión cero ").
Un anillo R es pseudo-Frobenius correcto si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cada módulo R correcto fiel es un generador para la categoría de módulos R correctos .
- R es autoinyectivo derecho y es un cogenerador de Mod- R .
- R es autoinyectivo derecho y se cogenera finamente como módulo R derecho .
- R es derecha autoinyectiva y un anillo de Kasch derecho .
- R es auto-inyectiva derecha, semilocal y el zócalo soc ( R R ) es un submódulo esencial de R .
- R es un cogenerador de Mod- R y es un anillo Kasch izquierdo.
Un anillo R es correcto finitamente pseudo-Frobenius si y solo si cada módulo R fiel fielmente generado finitamente es un generador de Mod- R .
Generalizaciones QF-1,2,3 de Thrall
En el artículo fundamental ( Thrall 1948 ) , RM Thrall se centró en tres propiedades específicas de las álgebras QF (de dimensión finita) y las estudió de forma aislada. Con supuestos adicionales, estas definiciones también se pueden utilizar para generalizar anillos QF. Algunos otros matemáticos que fueron pioneros en estas generalizaciones fueron K. Morita y H. Tachikawa.
A continuación ( Anderson y Fuller 1992 ), sea R un anillo Artiniano izquierdo o derecho:
- R es QF-1 si todos los módulos fieles de la izquierda y los módulos fieles de la derecha son módulos equilibrados .
- R es QF-2 si cada módulo proyectivo derecho indecomponible y cada módulo izquierdo proyectivo indecomponible tiene un submódulo mínimo único. (Es decir, tienen suelas simples).
- R es QF-3 si los cascos inyectivos E ( R R ) y E ( R R ) son ambos módulos proyectivos.
El esquema de numeración no describe necesariamente una jerarquía. En condiciones más laxas, es posible que estas tres clases de anillos no se contengan entre sí. Sin embargo, bajo el supuesto de que R es Artiniano izquierdo o derecho, los anillos QF-2 son QF-3. Incluso hay un ejemplo de un anillo QF-1 y QF-3 que no es QF-2.
Ejemplos de
- Cada álgebra k de Frobenius es un anillo de Frobenius.
- Cada anillo semisimple es cuasi-Frobenius, ya que todos los módulos son proyectivos e inyectivos. Sin embargo, es aún más cierto: los anillos semisimplejos son todos Frobenius. Esto se verifica fácilmente por la definición, ya que para anillos semisimpley J = rad ( R ) = 0.
- El anillo del cociente es QF para cualquier entero positivo n > 1.
- Los anillos en serie artinianos conmutativos son todos Frobenius y, de hecho, tienen la propiedad adicional de que cada anillo cociente R / I también es Frobenius. Resulta que entre los anillos artinianos conmutativos, los anillos en serie son exactamente los anillos cuyos cocientes (distintos de cero) son todos Frobenius.
- Se pueden encontrar muchos anillos exóticos PF y FPF como ejemplos en ( Faith 1984 )
Ver también
Notas
Las definiciones para QF, PF y FPF se ven fácilmente ser propiedades categóricas, y por lo que se conservan por Morita equivalencia , sin embargo ser un anillo de Frobenius no se conserva.
Para los anillos noetherianos unilaterales, las condiciones de PF izquierdo o derecho coinciden con QF, pero los anillos FPF siguen siendo distintos.
Un álgebra de dimensión finita R sobre un campo k es un álgebra k de Frobenius si y solo si R es un anillo de Frobenius.
Los anillos QF tienen la propiedad de que todos sus módulos pueden integrarse en un módulo R libre . Esto se puede ver de la siguiente manera. Un módulo M se incrusta en su casco inyectivo E ( M ), que ahora también es proyectivo. Como módulo proyectivo, E ( M ) es un sumatorio de un módulo libre F , por lo que E ( M ) se inserta en F con el mapa de inclusión. Mediante la composición de estos dos mapas, M está incrustado en F .
Libros de texto
- Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992), Anillos y categorías de módulos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1
- Faith, Carl; Page, Stanley (1984), FPF Ring Theory: Módulos fieles y generadores de Mod- $ R $ , London Mathematical Society Lecture Note Series No. 88, Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511721250 , ISBN 0-521-27738-8, MR 0754181
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), anillos de Cuasi-Frobenius , Cambridge University Press, ISBN 0-521-81593-2
Referencias
Para anillos QF-1, QF-2, QF-3:
- Morita, Kiiti (1958), "Sobre álgebras para las que cada representación fiel es su propio segundo conmutador", Math. Z. , 69 : 429–434, doi : 10.1007 / bf01187420 , ISSN 0025-5874
- Ringel, Claus Michael; Tachikawa, Hiroyuki (1974), "$ {\ rm QF} -3 $ rings", J. Reine Angew. Matemáticas. , 272 : 49–72, ISSN 0075-4102
- Thrall, RM (1948), "Algunas generalizaciones de álgebras cuasi-Frobenius", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 64 : 173–183, doi : 10.1090 / s0002-9947-1948-0026048-0 , ISSN 0002-9947