En matemáticas , el teorema de Banach-Stone es un resultado clásico de la teoría de funciones continuas en espacios topológicos , llamado así por los matemáticos Stefan Banach y Marshall Stone .
En resumen, el teorema de Banach-Stone permite recuperar un espacio compacto de Hausdorff del álgebra de escalares (las funciones continuas acotadas en el espacio). En el lenguaje moderno, este es el caso conmutativo del espectro de un álgebra C * , y el teorema de Banach-Stone puede verse como un análisis funcional análogo de la conexión entre un anillo R y el espectro de un anillo Spec ( R ) en geometría algebraica .
Declaración
Para un espacio topológico X , dejar C b ( X ; R ) denotar el espacio vectorial normado de continuas, valores reales- , funciones delimitadas f : X → R equipado con el norma del supremo ‖ · ‖ ∞ . Esta es un álgebra , llamada álgebra de escalares , bajo multiplicación puntual de funciones. Para un espacio compacto X , C b ( X ; R ) es el mismo que C ( X ; R ), el espacio de todas las funciones continuas f : X → R . El álgebra de escalares es un análisis funcional análogo del anillo de funciones regulares en geometría algebraica, denotado allí.
Deje que X y Y sean compactos , los espacios de Hausdorff y permiten T : C ( X ; R ) → C ( Y ; R ) una sobreyectiva lineal isometría . Entonces existe un homeomorfismo φ : Y → X y g ∈ C ( Y ; R ) con
y
El caso en el que X e Y son espacios métricos compactos se debe a Banach, [1] mientras que la extensión a espacios compactos de Hausdorff se debe a Stone. [2] De hecho, ambos demuestran una ligera generalización: no asumen que T es lineal, solo que es una isometría en el sentido de espacios métricos, y usan el teorema de Mazur-Ulam para demostrar que T es afín, y entonces es una isometría lineal.
Generalizaciones
El teorema de Banach-Stone tiene algunas generalizaciones para funciones continuas con valores vectoriales en espacios topológicos compactos de Hausdorff. Por ejemplo, si E es un espacio de Banach con centralizador trivial y X e Y son compactos, entonces cada isometría lineal de C ( X ; E ) sobre C ( Y ; E ) es un mapa de Banach-Stone fuerte .
Más significativamente, el teorema de Banach-Stone sugiere la filosofía de que uno puede reemplazar un espacio (una noción geométrica) por un álgebra , sin pérdida. Invirtiendo esto, sugiere que uno puede considerar los objetos algebraicos, incluso si no provienen de un objeto geométrico, como una especie de "álgebra de escalares". En este sentido, cualquier álgebra C * conmutativa es el álgebra de escalares en un espacio de Hausdorff. Por tanto, uno puede considerar las álgebras C * no conmutativas (o más bien su Spec) como espacios no conmutativos. Ésta es la base del campo de la geometría no conmutativa .
Ver también
- Espacio de Banach: espacio vectorial normalizado que está completo
Referencias
- ↑ Théorème 3 de Banach, Stefan (1932). Théorie des opérations linéaires . Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. pag. 170.
- ^ Teorema 83 de Stone, Marshall (1937). "Aplicaciones de la teoría de los anillos booleanos a la topología general" . Transacciones de la American Mathematical Society . 41 (3): 375–481. doi : 10.2307 / 1989788 .
- Araujo, Jesús (2006). "El teorema de Banach-Stone no compacto". Revista de teoría del operador . 55 (2): 285-294. ISSN 0379-4024 . Señor 2242851 .* Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). 1 . Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .