La econometría bayesiana es una rama de la econometría que aplica los principios bayesianos a la modelización económica. El bayesianismo se basa en una interpretación de probabilidad de grado de creencia , en oposición a una interpretación de frecuencia relativa.
El principio bayesiano se basa en el teorema de Bayes, que establece que la probabilidad de B condicionada a A es la razón de la probabilidad conjunta de A y B dividida por la probabilidad de B. Los econometristas bayesianos suponen que los coeficientes del modelo tienen distribuciones previas .
Este enfoque fue propagado por primera vez por Arnold Zellner . [1]
Lo esencial
Las probabilidades subjetivas deben satisfacer los axiomas estándar de la teoría de la probabilidad si se desea evitar perder una apuesta independientemente del resultado. [2] Antes de que se observen los datos, el parámetrose considera una cantidad desconocida y, por lo tanto, una variable aleatoria, a la que se le asigna una distribución previa con . El análisis bayesiano se concentra en la inferencia de la distribución posterior , es decir, la distribución de la variable aleatoria condicionado a la observación de los datos discretos . La función de densidad posteriorse puede calcular con base en el teorema de Bayes :
dónde , produciendo una función de probabilidad normalizada. Para datos continuos, esto corresponde a:
dónde y que es la pieza central de las estadísticas y econometría bayesianas. Tiene los siguientes componentes:
- : la función de densidad posterior de ;
- : la función de verosimilitud , es decir, la función de densidad para los datos observados cuando el valor del parámetro es ;
- : la distribución previa de;
- : la función de densidad de probabilidad de .
La función posterior está dada por , es decir, la función posterior es proporcional al producto de la función de verosimilitud y la distribución previa, y puede entenderse como un método de actualización de información, con la diferencia entre y siendo la ganancia de información relativa después de observar nuevos datos. La elección de la distribución previa se utiliza para imponer restricciones a, p.ej , con la distribución beta como una opción común debido a que (i) se define entre 0 y 1, (ii) puede producir una variedad de formas y (iii) producir una distribución posterior de la forma estándar si se combina con la probabilidad función. Con base en las propiedades de la distribución beta, un tamaño de muestra cada vez mayor implica que la media de la distribución posterior se aproxima al estimador de máxima verosimilitud.La forma asumida de la función de verosimilitud es parte de la información previa y debe estar justificada. Se pueden comparar diferentes supuestos de distribución utilizando razones de probabilidades posteriores si los motivos a priori no proporcionan una opción clara. Las formas comúnmente asumidas incluyen la distribución beta, la distribución gamma y la distribución uniforme , entre otras. Si el modelo contiene varios parámetros, el parámetro se puede redefinir como un vector. La aplicación de la teoría de la probabilidad a ese vector de parámetros produce las distribuciones marginales y condicionales de parámetros individuales o grupos de parámetros. Si la generación de datos es secuencial, los principios bayesianos implican que la distribución posterior del parámetro basada en nueva evidencia será proporcional al producto de la probabilidad de los nuevos datos, dados los datos anteriores y el parámetro, y la distribución posterior del parámetro, dado los datos antiguos, que proporcionan una forma intuitiva de permitir que la nueva información influya en las creencias sobre un parámetro a través de la actualización bayesiana . Si el tamaño de la muestra es grande, (i) la distribución previa juega un papel relativamente pequeño en la determinación de la distribución posterior, (ii) la distribución posterior converge a una distribución degenerada en el valor real del parámetro, y (iii) la distribución posterior se distribuye aproximadamente normalmente con media.
Historia
Las ideas subyacentes a las estadísticas bayesianas fueron desarrolladas por el reverendo Thomas Bayes durante el siglo XVIII y luego expandidas por Pierre-Simon Laplace . Ya en 1950, Jacob Marschak reconoció el potencial de la inferencia bayesiana en econometría . [3] El enfoque bayesiano se aplicó por primera vez a la econometría a principios de la década de 1960 por WD Fisher, Jacques Drèze , Clifford Hildreth , Thomas J. Rothenberg , George Tiao y Arnold Zellner . La motivación central detrás de estos primeros esfuerzos en la econometría bayesiana fue la combinación de los estimadores de parámetros con información incierta disponible sobre los parámetros del modelo que no se incluyó en la formulación de un modelo dado. [4] Desde mediados de la década de 1960 hasta mediados de la de 1970, la reformulación de las técnicas econométricas a lo largo de los principios bayesianos bajo el enfoque estructural tradicional dominó la agenda de investigación, con An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics de Zellner en 1971 como uno de sus aspectos más destacados, y así siguió de cerca el trabajo de la econometría frecuentista. Allí, los principales problemas técnicos fueron la dificultad de especificar densidades previas sin perder la interpretación económica o la trazabilidad matemática y la dificultad del cálculo integral en el contexto de las funciones de densidad. El resultado del programa de reformulación bayesiana fue resaltar la fragilidad de los modelos estructurales ante una especificación incierta. Esta fragilidad vino a motivar el trabajo de Edward Leamer , quien criticó enfáticamente la tendencia de los modeladores a entregarse a la "construcción de modelos posteriores a los datos" y, en consecuencia, desarrolló un método de modelado económico basado en la selección de modelos de regresión de acuerdo con los tipos de especificación de densidad previa. para identificar explícitamente las estructuras previas que subyacen a las reglas de trabajo de los modeladores en la selección del modelo. [5] La econometría bayesiana también se volvió atractiva para el intento de Christopher Sims de pasar del modelo estructural al modelo VAR debido a su especificación de probabilidad explícita de restricciones de parámetros. Impulsada por el rápido crecimiento de las capacidades informáticas desde mediados de la década de 1980 en adelante, la aplicación de la simulación Monte Carlo de la cadena de Markov a modelos estadísticos y econométricos, realizada por primera vez a principios de la década de 1990, permitió que el análisis bayesiano aumentara drásticamente su influencia en la economía y la econometría. [6]
Temas de investigación actuales
Desde principios del siglo XXI, la investigación en econometría bayesiana se ha concentrado en: [7]
- métodos de muestreo adecuados para cálculos de GPU y paralelización ;
- modelos económicos complejos que tienen en cuenta los efectos no lineales y las densidades predictivas completas;
- análisis de las características implícitas del modelo y análisis de decisiones;
- incorporación del modelo incompleto en el análisis econométrico.
Referencias
- ^ Greenberg, Edward (2012). Introducción a la econometría bayesiana (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-01531-9.
- ^ Capítulo 3 en de Finetti, B. (1990). Teoría de la probabilidad . Chichester: John Wiley & Sons.
- ↑ Marschak hizo este reconocimiento en una conferencia, que se formalizó en Marschak (1954); cf. Marschak, J. (1954). Probabilidad en las Ciencias Sociales. En Marschak, J. (1974). Información, decisión y predicción económicas. Ensayos seleccionados: Volumen I Parte I - Economía de la decisión . Amsterdam: Springer Holanda.
- ^ Qin, D. (1996). "Econometría bayesiana: los primeros veinte años". Teoría econométrica . 12 (3): 500–516. doi : 10.1017 / S0266466600006836 .
- ^ Leamer, Edward E. (1974). "Modelos falsos y construcción de modelos posteriores a los datos". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 69 (345): 122-131. doi : 10.1080 / 01621459.1974.10480138 .
- ^ Koop, Gary; Korobilis, Dimitris (2010). "Métodos bayesianos de series de tiempo multivariante para macroeconomía empírica". Fundamentos y Tendencias en Econometría . 3 (4): 267–358. CiteSeerX 10.1.1.164.7962 . doi : 10.1561 / 0800000013 .
- ^ Basturk, N. (2013). Desarrollos históricos en la econometría bayesiana después de las monografías 10, 14 de la Fundación Cowles. Documento de debate del Instituto Tinbergen 191 / III.
- Koop, Gary; Poirier, Dale J .; Tobias, Justin L. (2007). Métodos econométricos bayesianos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-85571-6.
- Lancaster, Tony (2004). Introducción a la econometría bayesiana moderna . Blackwell. ISBN 1-4051-1720-6.
- Zellner, A. (1996). Una Introducción a la Inferencia Bayesiana en Econometría (Reimpresión de 1971 ed.). Wiley. ISBN 0-471-16937-4.
- Greenberg, Edward (2012). Introducción a la econometría bayesiana (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-01531-9.