teorema de behrend

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En combinatoria aritmética , el teorema de Behrend establece que los subconjuntos de los números enteros desde 1 hasta en los que ningún miembro del conjunto es múltiplo de otro debe tener una densidad logarítmica que tiende a cero a medida que se hace grande. El teorema lleva el nombre de Felix Behrend , quien lo publicó en 1935.${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización n}$

La densidad logarítmica de un conjunto de enteros de 1 a puede definirse estableciendo el peso de cada entero en , y dividiendo el peso total del conjunto por la suma parcial de la serie armónica (o, de manera equivalente para los propósitos análisis , dividiendo por ). El número resultante es 1 o cercano a 1 cuando el conjunto incluye todos los números enteros en ese rango, pero más pequeño cuando faltan muchos números enteros, y particularmente cuando los números enteros que faltan son pequeños. ^[1]${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización i}$${\ estilo de visualización 1/i}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización \ registro n}$

Un subconjunto de se llama primitivo si tiene la propiedad de que ningún elemento del subconjunto es múltiplo de ningún otro elemento. El teorema de Behrend establece que la densidad logarítmica de cualquier subconjunto primitivo debe ser pequeña. Más precisamente, la densidad logarítmica de dicho conjunto debe ser . ^[1]${\ estilo de visualización \ {1, \ puntos n \}}$${\displaystyle O(1/{\sqrt {\log \log n}})}$

Para secuencias primitivas infinitas, la máxima densidad posible es menor, . ^[2]${\displaystyle o(1/{\sqrt {\log \log n}})}$

Existen grandes subconjuntos primitivos de . Sin embargo, estos conjuntos todavía tienen una densidad logarítmica pequeña.${\ estilo de visualización \ {1, \ puntos n \}}$

Ambos subconjuntos tienen una densidad logarítmica significativamente menor que el límite dado por el teorema de Behrend. Resolviendo una conjetura de GH Hardy , tanto Paul Erdős como Subbayya Sivasankaranarayana Pillai demostraron que, para , el conjunto de números con factores primos exactos (contados con multiplicidad) tiene densidad logarítmica${\displaystyle k\approx \log \log n}$${\displaystyle k}$

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