En geometría diferencial y física matemática , una conexión de espín es una conexión en un haz de espinas . Se induce, de manera canónica, a partir de la conexión afín . También se puede considerar como el campo de calibre generado por las transformaciones de Lorentz locales . En algunas formulaciones canónicas de la relatividad general, una conexión de espín se define en cortes espaciales y también se puede considerar como el campo de calibre generado por rotaciones locales .
La conexión de espín ocurre en dos formas comunes: la conexión de espín Levi-Civita , cuando se deriva de la conexión Levi-Civita , y la conexión de espín afín , cuando se obtiene de la conexión afín. La diferencia entre los dos es que la conexión Levi-Civita es, por definición, la conexión única sin torsión , mientras que la conexión afín (y por lo tanto la conexión de giro afín) puede contener torsión.
Definición
Dejar ser los campos de marco de Lorentz locales o vierbein (también conocido como tétrada), que es un conjunto de campos vectoriales de espacio-tiempo ortonormales que diagonalizan el tensor métrico
dónde es la métrica del espacio-tiempo y es la métrica de Minkowski . Aquí, las letras latinas denotan los índices del marco de Lorentz locales ; Los índices griegos denotan índices de coordenadas generales. Esto simplemente expresa que, cuando se escribe en términos de la base , es localmente plano. Los índices de vierbein griegos se pueden subir o bajar por la métrica, es decir o . Los índices de vierbein latinos o "lorentzianos" se pueden subir o bajar por o respectivamente. Por ejemplo, y
La conexión de giro sin torsión viene dada por
dónde son los símbolos de Christoffel . Esta definición debe tomarse como la definición de la conexión de giro sin torsión, ya que, por convención, los símbolos de Christoffel se derivan de la conexión Levi-Civita , que es la conexión sin torsión y compatible métrica única en un colector Riemanniano. En general, no hay restricción: la conexión de giro también puede contener torsión.
Tenga en cuenta que usando la derivada covariante gravitacional del vector contravariante . La conexión de espín se puede escribir puramente en términos del campo vierbein como [1]
que por definición es antisimétrico en sus índices internos .
La conexión giratoria define una derivada covariante sobre tensores generalizados. Por ejemplo, su acción sobre es
Ecuaciones de estructura de Cartan
En el formalismo de Cartan , la conexión de giro se usa para definir tanto la torsión como la curvatura. Estos son más fáciles de leer al trabajar con formas diferenciales , ya que esto oculta parte de la profusión de índices. Las ecuaciones que se presentan aquí son efectivamente una reafirmación de las que se pueden encontrar en el artículo sobre la forma de conexión y la forma de curvatura . La principal diferencia es que estos retienen los índices en el vierbein, en lugar de ocultarlos por completo. Más concretamente, el formalismo de Cartan debe interpretarse en su contexto histórico, como una generalización de la idea de una conexión afín a un espacio homogéneo ; todavía no es tan general como la idea de una conexión principal en un haz de fibras . Sirve como un punto intermedio adecuado entre el ajuste más estrecho en la geometría de Riemann y el ajuste del haz de fibras completamente abstracto, enfatizando así la similitud con la teoría del calibre . Tenga en cuenta que las ecuaciones de estructura de Cartan, como se expresan aquí, tienen un análogo directo: las ecuaciones de Maurer-Cartan para grupos de Lie (es decir, son las mismas ecuaciones, pero en una configuración y notación diferentes).
Escribiendo los vierbeins como formas diferenciales
para las coordenadas ortonormales en el paquete cotangente , la conexión de espín afín de una forma es
La forma de torsión 2 viene dada por
mientras que la curvatura de 2 formas es
Estas dos ecuaciones, tomadas en conjunto, se denominan ecuaciones de estructura de Cartan . [2] La coherencia requiere que se obedezcan las identidades Bianchi . La primera identidad de Bianchi se obtiene tomando la derivada exterior de la torsión:
mientras que el segundo diferenciando la curvatura:
La derivada covariante de una forma diferencial genérica de grado p está definido por
La segunda identidad de Bianchi se convierte en
La diferencia entre una conexión con torsión y la conexión sin torsión única viene dada por el tensor de torsión . Las conexiones con la torsión se encuentran comúnmente en las teorías del teleparallelismo , la teoría de Einstein-Cartan , la gravedad y la supergravedad de la teoría gauge .
Derivación
Metricidad
Es fácil de deducir subiendo y bajando índices según sea necesario que los campos del marco definidos por también satisfará y . Esperamos que también aniquilará la métrica de Minkowski ,
Esto implica que la conexión es antisimétrica en sus índices internos, Esto también se deduce tomando la derivada covariante gravitacional lo que implica que así, en última instancia, . A esto a veces se le llama condición de métrica ; [2] es análogo a la condición de metricidad más comúnmente declarada que Tenga en cuenta que esta condición es válida solo para la conexión de giro Levi-Civita, y no para la conexión de giro afín en general.
Sustituyendo la fórmula por los símbolos de Christoffel escrito en términos de la , la conexión de espín se puede escribir completamente en términos de ,
donde la antisimetrización de índices tiene un factor implícito de 1/2.
Por la compatibilidad métrica
Esta fórmula se puede derivar de otra forma. Para resolver directamente la condición de compatibilidad para la conexión giratoria., se puede usar el mismo truco que se usó para resolver para los símbolos de Christoffel . Primero contrate la condición de compatibilidad para dar
- .
Luego, haz una permutación cíclica de los índices libres y y suma y resta las tres ecuaciones resultantes:
donde hemos usado la definición . La solución para la conexión de espín es
- .
De esto obtenemos la misma fórmula que antes.
Aplicaciones
La conexión de espín surge en la ecuación de Dirac cuando se expresa en el lenguaje del espaciotiempo curvo , ver la ecuación de Dirac en el espaciotiempo curvo . Específicamente, existen problemas para acoplar la gravedad a los campos de espino : no hay representaciones de espino de dimensión finita del grupo de covarianza general . Sin embargo, existen, por supuesto, representaciones espinoriales del grupo de Lorentz . Este hecho se utiliza empleando campos de tétrada que describen un espacio tangente plano en cada punto del espacio-tiempo. Las matrices de Dirac se contratan en vierbiens,
- .
Deseamos construir una ecuación de Dirac generalmente covariante. Bajo una transformación de Lorentz del espacio tangente plano, el espinor se transforma como
Hemos introducido transformaciones de Lorentz locales en el espacio tangente plano generado por el es tal que es una función del espacio-tiempo. Esto significa que la derivada parcial de un espinor ya no es un tensor genuino. Como de costumbre, se introduce un campo de conexión.que nos permite calibrar el grupo de Lorentz. La derivada covariante definida con la conexión de espín es,
- ,
y es un tensor genuino y la ecuación de Dirac se reescribe como
- .
La acción del fermión generalmente covariante acopla los fermiones a la gravedad cuando se agrega a la acción palatini tetradica de primer orden ,
dónde y es la curvatura de la conexión de espín.
La formulación tetrádica de Palatini de la relatividad general que es una formulación de primer orden de la acción de Einstein-Hilbert donde la tétrada y la conexión de espín son las variables independientes básicas. En la versión 3 + 1 de la formulación de Palatini, la información sobre la métrica espacial,, está codificado en la tríada (versión espacial tridimensional de la tétrada). Aquí ampliamos la condición de compatibilidad métrica a , es decir, y obtenemos una fórmula similar a la dada anteriormente pero para la conexión de espín espacial .
La conexión de espín espacial aparece en la definición de variables Ashtekar-Barbero que permite reescribir la relatividad general 3 + 1 como un tipo especial de Teoría del calibre de Yang-Mills . Uno define. La variable de conexión Ashtekar-Barbero se define entonces como dónde y es la curvatura extrínseca yes el parámetro Immirzi . Con como variable de configuración, el momento conjugado es la tríada densitizada . Con la relatividad general 3 + 1 reescrita como un tipo especial de Teoría de calibre de Yang-Mills , permite la importación de técnicas no perturbativas utilizadas en la cromodinámica cuántica a la relatividad general cuántica canónica.
Ver también
- Variables Ashtekar
- Operador de Dirac
- Conexión Cartan
- Conexión Levi-Civita
- Cálculo de Ricci
- Supergravedad
- Tensor de torsión
- Tensor de contorsión
- Ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo
Referencias
- ^ MB Green, JH Schwarz, E. Witten, "Teoría de supercuerdas", vol. 2.
- ^ a b Tohru Eguchi, Peter B. Gilkey y Andrew J. Hanson, " Gravitación, teorías de calibre y geometría diferencial ", Physics Reports 66 (1980) pp 213-393.
- Hehl, FW; von der Heyde, P .; Kerlick, GD; Nester, JM (1976), "Relatividad general con espín y torsión: fundamentos y perspectivas" , Rev. Mod. Phys. 48 , 393.
- Kibble, TWB (1961), "La invariancia de Lorentz y el campo gravitacional" , J. Math. Phys. 2 , 212.
- Poplawski, Nueva Jersey (2009), "Espacio-tiempo y campos", arXiv: 0911.0334
- Sciama, DW (1964), "La estructura física de la relatividad general" , Rev. Mod. Phys. 36 , 463.