Problema de cinturón

El problema del cinturón

El problema de la correa es una matemáticas problema que requiere encontrar la longitud de un cruzado de la correa que conecta dos circulares poleas con radio r ₁ y r ₂ cuyos centros están separados por una distancia P . La solución del problema del cinturón requiere trigonometría y los conceptos de línea bitangente , ángulo vertical y ángulos congruentes .

Solución

Claramente, los triángulos ACO y ADO son triángulos rectángulos congruentes , al igual que los triángulos BEO y BFO. Además, los triángulos ACO y BEO son similares . Por lo tanto, los ángulos CAO, DAO, EBO y FBO son todos iguales. Denotando este ángulo por (denominado en radianes ), la longitud de la correa es${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle CO+DO+EO+FO+{\text{arc}}CD+{\text{arc}}EF\,\!}$

${\displaystyle =2r_{1}\tan(\varphi )+2r_{2}\tan(\varphi )+(2\pi -2\varphi )r_{1}+(2\pi -2\varphi )r_{2}\,\!}$

${\displaystyle =2(r_{1}+r_{2})(\tan(\varphi )+\pi -\varphi )\,\!}$

Esto aprovecha la conveniencia de denominar ángulos en radianes que la longitud de un arco = el radio × la medida del ángulo que mira hacia el arco .

Para encontrar , vemos por la similitud de los triángulos ACO y BEO que${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {AO}{BO}}={\frac {AC}{BE}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {P-x}{x}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {P}{x}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{r_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow {x}={\frac {Pr_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {r_{2}}{x}}={\frac {r_{2}}{\left({\dfrac {Pr_{2}}{r_{1}+r_{2}}}\right)}}={\frac {r_{1}+r_{2}}{P}}\,\!}$

${\displaystyle \Rightarrow \varphi =\cos ^{-1}\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{P}}\right)\,\!}$

Para P fijo, la longitud de la correa depende solo de la suma de los valores de radio r ₁  +  r ₂ , y no de sus valores individuales.

Problema de polea

El problema de la polea

Existen otros tipos de problemas similares al problema de la correa. El problema de la polea , como se muestra, es similar al problema de la correa; sin embargo, el cinturón no se cruza. En el problema de la polea, la longitud de la correa es

${\displaystyle 2P\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)+r_{1}(2\pi -\theta )+r_{2}{\theta }\,,}$

donde r ₁ representa el radio de la polea más grande, r ₂ representa el radio de la más pequeña y:

${\displaystyle \theta =2\cos ^{-1}\left({\frac {r_{1}-r_{2}}{P}}\right)\,.}$

Aplicaciones

El problema de la correa se utiliza ^[1] en el diseño de aviones , engranajes de bicicletas , automóviles y otros artículos con poleas o correas que se cruzan entre sí. El problema de las poleas también se utiliza en el diseño de cintas transportadoras que se encuentran en las cintas de equipaje de los aeropuertos y en las líneas de fábrica automatizadas . ^[2]

Ver también

• Líneas tangentes a círculos

Referencias

1. Ejemplos de trigonometría en la vida real Archivado el 25 de abril de 2009 en la Wayback Machine.
2. Trigonometría utilizada en cintas transportadoras Archivado el 22 de febrero de 2012 en la Wayback Machine.