En matemáticas , el teorema de Bendixson-Dulac sobre sistemas dinámicos establece que si existe un función (llamada función de Dulac) de modo que la expresión
Según el teorema de Dulac, cualquier sistema autónomo 2D con una órbita periódica tiene una región con divergencia positiva y una región con divergencia negativa dentro de dicha órbita. Aquí representado por regiones rojas y verdes respectivamente
tiene el mismo signo) casi en todas partes en una región del plano simplemente conectada , luego el sistema autónomo del plano
no tiene soluciones periódicas no constantes que se encuentren enteramente dentro de la región. [1] "Casi en todas partes" significa en todas partes excepto posiblemente en un conjunto de compás 0, como un punto o una línea.
El teorema fue establecido por primera vez por el matemático sueco Ivar Bendixson en 1901 y perfeccionado por el matemático francés Henri Dulac en 1933 utilizando el teorema de Green .
Sin pérdida de generalidad, que exista una función tal que
en una región simplemente conectada . Dejar ser una trayectoria cerrada del sistema autónomo plano en . Dejar ser el interior de . Luego, por el teorema de Green ,
Debido al signo constante, la integral de la izquierda en la línea anterior debe evaluarse como un número positivo. Pero en, y , por lo que el integrando inferior es de hecho 0 en todas partes y, por esta razón, la integral de la derecha se evalúa como 0. Esto es una contradicción, por lo que no puede haber una trayectoria cerrada. .
Henri Dulac (1870-1955) fue un matemático francés de Fayence
- ^ Burton, Theodore Allen (2005). Ecuaciones diferenciales e integrales de Volterra . Elsevier. pag. 318. ISBN 9780444517869.