La ecuación de Benjamin-Bona-Mahony (o ecuación de BBM ), también conocida como ecuación de onda larga regularizada ( RLWE ), es la ecuación diferencial parcial
Esta ecuación fue estudiada en Benjamin , Bona y Mahony ( 1972 ) como una mejora de la ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación KdV) para modelar ondas de gravedad de superficie larga de pequeña amplitud, que se propagan unidireccionalmente en dimensiones 1 + 1. Muestran la estabilidad y singularidad de las soluciones a la ecuación de BBM. Esto contrasta con la ecuación KdV, que es inestable en sus componentes de alto número de onda . Además, mientras que la ecuación de KdV tiene un número infinito de integrales de movimiento , la ecuación de BBM solo tiene tres. [2] [3]
Antes, en 1966, esta ecuación fue introducida por Peregrine , en el estudio de los taladros ondulares . [4]
Una versión n- dimensional generalizada viene dada por [5] [6]
dónde es una función suficientemente suave de a . Avrin y Goldstein (1985) demostraron la existencia global de una solución en todas las dimensiones.
Solución de onda solitaria
La ecuación de BBM posee soluciones de ondas solitarias de la forma: [3]
donde sech es la función secante hiperbólica yes un cambio de fase (por un desplazamiento horizontal inicial). Para, las ondas solitarias tienen una elevación de cresta positiva y viajan en sentido positivo-dirección con velocidad Estas ondas solitarias no son solitones , es decir, después de la interacción con otras ondas solitarias, se genera una cola oscilatoria y las ondas solitarias han cambiado. [1] [3]
Estructura hamiltoniana
La ecuación BBM tiene una estructura hamiltoniana , ya que se puede escribir como: [7]
- con hamiltoniano y operador
Aquí es la variación del hamiltoniano con respecto a y denota el operador diferencial parcial con respecto a
Leyes de conservación
La ecuación BBM posee exactamente tres leyes de conservación independientes y no triviales . [3] Primero es reemplazado por en la ecuación BBM, lo que lleva a la ecuación equivalente:
Entonces, las tres leyes de conservación son: [3]
Que se puede expresar fácilmente en términos de mediante el uso
Dispersión lineal
La versión linealizada de la ecuación BBM es:
Las soluciones periódicas de ondas progresivas tienen la forma:
con el número de onda yla frecuencia angular . La relación de dispersión de la ecuación BBM linealizada es [2]
De manera similar, para la ecuación KdV linealizada la relación de dispersión es: [2]
Esto se vuelve ilimitado y negativo para y lo mismo se aplica a la velocidad de fase y velocidad de grupo En consecuencia, la ecuación de KdV da ondas que viajan en sentido negativo. -dirección para números de onda altos ( longitudes de onda cortas ). Esto contrasta con su propósito como una aproximación de ondas unidireccionales que se propagan en positivo.-dirección. [2]
El fuerte crecimiento de la frecuencia y velocidad de fase con número de onda planteó problemas en la solución numérica de la ecuación KdV, mientras que la ecuación BBM no tiene estas deficiencias. [2]
Notas
- ↑ a b Bona, Pritchard y Scott (1980)
- ↑ a b c d e Benjamin , Bona y Mahony ( 1972 )
- ↑ a b c d e Olver (1979)
- ↑ Peregrine (1966)
- ^ Goldstein y Wichnoski (1980)
- ^ Avrin y Goldstein (1985)
- ^ Olver, PJ (1980), "Sobre la estructura hamiltoniana de las ecuaciones de evolución", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 88 (1): 71-88, Bibcode : 1980MPCPS..88 ... 71O , doi : 10.1017 / S0305004100057364
Referencias
- Avrin, J .; Goldstein, JA (1985), "Existencia global para la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony en dimensiones arbitrarias", Análisis no lineal , 9 (8): 861-865, doi : 10.1016 / 0362-546X (85) 90023-9 , MR 0799889
- Benjamin, TB ; Bona, JL ; Mahony, JJ (1972), "Ecuaciones modelo para ondas largas en sistemas dispersivos no lineales", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas , 272 (1220): 47–78, Bibcode : 1972RSPTA.272 ... 47B , doi : 10.1098 / rsta.1972.0032 , ISSN 0962-8428 , JSTOR 74079
- Bona, JL ; Pritchard, WG; Scott, LR (1980), "Interacción de onda solitaria", Physics of Fluids , 23 (3): 438–441, Bibcode : 1980PhFl ... 23..438B , doi : 10.1063 / 1.863011
- Goldstein, JA ; Wichnoski, BJ (1980), "Sobre la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony en dimensiones superiores", Análisis no lineal , 4 (4): 665-675, doi : 10.1016 / 0362-546X (80) 90067-X
- Olver, PJ (1979), "Operadores de Euler y leyes de conservación de la ecuación BBM", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 85 : 143–160, Código Bibliográfico : 1979MPCPS..85..143O , doi : 10.1017 / S0305004100055572
- Peregrine, DH (1966), "Cálculos del desarrollo de un orificio undular", Journal of Fluid Mechanics , 25 (2): 321–330, Bibcode : 1966JFM .... 25..321P , doi : 10.1017 / S0022112066001678
- Zwillinger, D. (1998), Manual de ecuaciones diferenciales (3a ed.), Boston, MA: Academic Press, págs. 174 y 176, ISBN 978-0-12-784396-4, MR 0977062 (Advertencia: en la p. 174, Zwillinger expresa incorrectamente la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony, confundiéndola con la ecuación similar de KdV).