En matemáticas , el teorema de comparación de Berger-Kazdan es un resultado en la geometría de Riemann que da un límite inferior en el volumen de una variedad de Riemann y también da una condición necesaria y suficiente para que la variedad sea isométrica a la esfera m - dimensional con su habitual métrica "redonda". El teorema lleva el nombre de los matemáticos Marcel Berger y Jerry Kazdan .
Declaración del teorema
Sea ( M , g ) una variedad Riemanniana compacta m -dimensional con radio de inyectividad inj ( M ). Sea vol la forma de volumen en M y sea c m ( r ) el volumen de la esfera estándar m -dimensional de radio r . Luego
con igualdad si y solo si ( M , g ) es isométrica a la m -esfera S m con su métrica redonda habitual.
Referencias
- Berger, Marcel ; Kazdan, Jerry L. (1980). "Una desigualdad de Sturm-Liouville con aplicaciones a una desigualdad isoperimétrica para el volumen en términos de radio de inyectividad, y a las variedades de Wiedersehen". Actas de la Segunda Conferencia Internacional sobre Desigualdades Generales, 1978 . Birkhauser. págs. 367–377.
- Kodani, Shigeru (1988). "Una estimación del volumen de bolas métricas" . Diario de matemáticas de Kodai . 11 (2): 300–305. doi : 10.2996 / kmj / 1138038881 .