Métrica de Bergman

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En geometría diferencial , la métrica de Bergman es una métrica hermitiana que se puede definir en ciertos tipos de variedad compleja . Se llama así porque se deriva del kernel de Bergman , y ambos llevan el nombre de Stefan Bergman .

Vamos a ser un dominio y dejar que sea el núcleo de Bergman en G . Definimos una métrica hermitiana en el paquete tangente por${\ Displaystyle G \ subconjunto {\ mathbb {C}} ^ {n}}$${\ Displaystyle K (z, w)}$ ${\ Displaystyle T_ {z} {\ mathbb {C}} ^ {n}}$

para . Entonces la longitud de un vector tangente viene dada por${\ Displaystyle z \ in G}$${\ Displaystyle \ xi \ in T_ {z} {\ mathbb {C}} ^ {n}}$

La longitud de una curva C ¹ (por partes) se calcula como${\ Displaystyle \ gamma \ colon [0,1] \ to {\ mathbb {C}} ^ {n}}$

La distancia de dos puntos se define entonces como${\ Displaystyle d_ {G} (p, q)}$${\ Displaystyle p, q \ in G}$

La métrica de Bergman es de hecho una matriz definida positiva en cada punto si G es un dominio acotado. Más importante aún, la distancia d _G es invariante bajo mapeos biholomórficos de G a otro dominio . Es decir, si f es un biholomorfismo de G y , entonces .${\ Displaystyle G '}$${\ Displaystyle G '}$${\ Displaystyle d_ {G} (p, q) = d_ {G '} (f (p), f (q))}$

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