En el estudio matemático de varias variables complejas , el núcleo de Bergman , llamado así por Stefan Bergman , es un núcleo de reproducción para el espacio de Hilbert de todas las funciones holomórficas integrables cuadradas en un dominio D en C n .
En detalle, sea L 2 ( D ) el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en D , y sea L 2, h ( D ) el subespacio que consta de funciones holomórficas en D : es decir,
donde H ( D ) es el espacio de las funciones holomorfas en D . Entonces L 2, h ( D ) es un espacio de Hilbert: es una cerrada subespacio lineal de L 2 ( D ), y por lo tanto completa en su propio derecho. Esto se sigue de la estimación fundamental, que para una función holomórfica integrable al cuadrado f en D
( 1 )
para cada compacto subconjunto K de D . Por lo tanto, la convergencia de una secuencia de funciones holomórficas en L 2 ( D ) implica también una convergencia compacta , por lo que la función límite también es holomórfica.
Otra consecuencia de ( 1 ) es que, para cada z ∈ D , la evaluación
es un funcional lineal continuo en L 2, h ( D ). Por el teorema de representación de Riesz , este funcional se puede representar como el producto interno con un elemento de L 2, h ( D ), es decir que
El kernel de Bergman K se define por
El núcleo K ( z , ζ) es holomórfico en z y antiholomórfico en ζ, y satisface
Una observación clave sobre esta imagen es que L 2, h ( D ) puede identificarse con el espacio de formas holomorfas (n, 0) en D, mediante la multiplicación por . Desde elEl producto interno en este espacio es manifiestamente invariante bajo biholomorfismos de D, el núcleo de Bergman y la métrica de Bergman asociada son, por lo tanto, automáticamente invariantes bajo el grupo de automorfismos del dominio.
Ver también
Referencias
- Krantz, Steven G. (2002), Teoría de funciones de varias variables complejas , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2724-6.
- Chirka, EM (2001) [1994], "Función del núcleo de Bergman" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.