El teorema de Bernstein es una desigualdad que relaciona el módulo máximo de una función polinomial compleja en el disco unitario con el módulo máximo de su derivada en el disco unitario. Sergei Bernstein lo demostró mientras trabajaba en la teoría de la aproximación . [1]
Declaración
Dejar denotar el módulo máximo de una función arbitraria en , y deja denotar su derivada. Luego, para cada polinomio de grado tenemos
- .
La desigualdad es mejor posible manteniendo la igualdad si y solo si
- .
Prueba
Dejar ser un polinomio de grado , y deja ser otro polinomio del mismo grado sin ceros en . Mostramos primero que si en , luego en .
Por el teorema de Rouché , con tiene todos sus ceros en . En virtud del teorema de Gauss-Lucas , tiene todos sus ceros en también. Resulta que en , de lo contrario podríamos elegir un con tal que tiene un cero en .
Para un polinomio arbitrario de grado , obtenemos el teorema de Bernstein aplicando el resultado anterior a los polinomios , dónde es una constante arbitraria que excede .
La desigualdad de Bernstein
En análisis matemático , la desigualdad de Bernstein establece que en el plano complejo , dentro del disco de radio 1, el grado de un polinomio multiplicado por el valor máximo de un polinomio es un límite superior para el máximo similar de su derivada . Tomando la k- ésima derivada del teorema,
Resultados similares
Paul Erdős conjeturó que si no tiene ceros en , luego . Esto fue probado por Peter Lax . [3]
MA Malik demostró que si no tiene ceros en para una dada , luego . [4]
Ver también
Referencias
- ^ RP Boas, Jr., Desigualdades para las derivadas de polinomios, Matemáticas. revista 42 (1969), 165-174.
- ^ MA Malik, MC Vong, Desigualdades relativas a la derivada de polinomios, Rend. Circ. Estera. Palermo (2) 34 (1985), 422–426.
- ^ PD Lax, Prueba de una conjetura de P. Erdös sobre la derivada de un polinomio, Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 50 (1944), 509–513.
- ^ MA Malik, sobre la derivada de un polinomio J. London Math. Soc (2) 1 (1969), 57–60.
Otras lecturas
- Frappier, Clément (2004). "Nota sobre la desigualdad de Bernstein para la tercera derivada de un polinomio" (PDF) . J. Desigual. Pure Appl. Matemáticas . 5 (1). Documento núm. 7. ISSN 1443-5756 . Zbl 1060.30003 .
- Natanson, IP (1964). Teoría de la función constructiva. Volumen I: Aproximación uniforme . Traducido por Alexis N. Obolensky. Nueva York: Frederick Ungar. Señor 0196340 . Zbl 0133.31101 .
- Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002). Teoría analítica de polinomios . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Series nuevas. 26 . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006 .