Las funciones de Bessel , primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y luego generalizadas por Friedrich Bessel , son soluciones canónicas y ( x ) de la ecuación diferencial de Bessel
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Vibrating_drum_Bessel_function.gif/220px-Vibrating_drum_Bessel_function.gif)
para un número complejo arbitrario α , el orden de la función de Bessel. Aunque α y - α producen la misma ecuación diferencial, es convencional definir diferentes funciones de Bessel para estos dos valores de tal manera que las funciones de Bessel sean en su mayoría funciones suaves de α .
Los casos más importantes son cuando α es un número entero o medio entero . Las funciones de Bessel para el entero α también se conocen como funciones de cilindro o armónicos cilíndricos porque aparecen en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas . Las funciones esféricas de Bessel con medio entero α se obtienen cuando la ecuación de Helmholtz se resuelve en coordenadas esféricas .
Aplicaciones de las funciones de Bessel
La ecuación de Bessel surge al encontrar soluciones separables a la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas o esféricas . Por tanto, las funciones de Bessel son especialmente importantes para muchos problemas de propagación de ondas y potenciales estáticos. Al resolver problemas en sistemas de coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero ( α = n ); en problemas esféricos, se obtienen órdenes de medio entero ( α = n +1/2). Por ejemplo:
- Ondas electromagnéticas en una guía de ondas cilíndrica
- Amplitudes de presión de flujos rotacionales no viscosos
- Conducción de calor en un objeto cilíndrico
- Modos de vibración de una membrana acústica circular (o anular) delgada (como un tambor u otro membranófono )
- Problemas de difusión en una celosía.
- Soluciones de la ecuación radial de Schrödinger (en coordenadas esféricas y cilíndricas) para una partícula libre
- Resolución de patrones de radiación acústica
- Fricción dependiente de la frecuencia en tuberías circulares
- Dinámica de cuerpos flotantes
- Resolución angular
- Difracción de objetos helicoidales, incluido el ADN
- Función de densidad de probabilidad del producto de dos variables aleatorias distribuidas normalmente
Las funciones de Bessel también aparecen en otros problemas, como el procesamiento de señales (p. Ej., Consulte la síntesis de FM , la ventana de Kaiser o el filtro de Bessel ).
Definiciones
Debido a que esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, debe haber dos soluciones linealmente independientes . Sin embargo, dependiendo de las circunstancias, resultan convenientes varias formulaciones de estas soluciones. Las diferentes variaciones se resumen en la tabla siguiente y se describen en las siguientes secciones.
Tipo Primer tipo Segundo tipo Funciones de Bessel J α Y α Funciones de Bessel modificadas Yo α K α Funciones de Hankel H(1)
α= J α + iY αH(2)
α= J α - iY αFunciones esféricas de Bessel j n s n Funciones esféricas de Hankel h(1)
n= j n + iy nh(2)
n= J n - iy n
Las funciones de Bessel del segundo tipo y las funciones esféricas de Bessel del segundo tipo a veces se denotan por N n y n n , respectivamente, en lugar de Y n e y n . [1] [2]
Funciones de Bessel del primer tipo: J α
Las funciones de Bessel del primer tipo, denotadas como J α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel. Para α entero o positivo , las funciones de Bessel del primer tipo son finitas en el origen ( x = 0 ); mientras que para α negativo no entero , las funciones de Bessel del primer tipo divergen cuando x se acerca a cero. Es posible definir la función por su expansión en serie alrededor de x = 0 , que se puede encontrar aplicando el método de Frobenius a la ecuación de Bessel: [3]
donde Γ ( z ) es la función gamma , una generalización desplazada de la función factorial a valores no enteros. La función de Bessel del primer tipo es una función completa si α es un número entero; de lo contrario, es una función de varios valores con singularidad en cero. Los gráficos de las funciones de Bessel se parecen más o menos a funciones de seno o coseno oscilantes que decaen proporcionalmente a(ver también sus formas asintóticas a continuación), aunque sus raíces no son generalmente periódicas, excepto asintóticamente para x grandes . (La serie indica que - J 1 ( x ) es la derivada de J 0 ( x ) , al igual que −sin x es la derivada de cos x ; de manera más general, la derivada de J n ( x ) se puede expresar en términos de J n ± 1 ( x ) por las identidades siguientes .)
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Para α no entero , las funciones J α ( x ) y J - α ( x ) son linealmente independientes y, por lo tanto, son las dos soluciones de la ecuación diferencial. Por otro lado, para el orden de números enteros n , la siguiente relación es válida (la función gamma tiene polos simples en cada uno de los números enteros no positivos): [4]
Esto significa que las dos soluciones ya no son linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente resulta ser la función de Bessel del segundo tipo, como se analiza a continuación.
Integrales de Bessel
Otra definición de la función de Bessel, para valores enteros de n , es posible usando una representación integral: [5]
Este fue el enfoque que utilizó Bessel, y de esta definición derivó varias propiedades de la función. La definición puede extenderse a órdenes no enteros mediante una de las integrales de Schläfli, para Re ( x )> 0 : [5] [6] [7] [8] [9]
Relación con las series hipergeométricas
Las funciones de Bessel se pueden expresar en términos de la serie hipergeométrica generalizada como [10]
Esta expresión está relacionada con el desarrollo de las funciones de Bessel en términos de la función de Bessel-Clifford .
Relación con los polinomios de Laguerre
En términos de los polinomios de Laguerre L k y el parámetro t elegido arbitrariamente , la función de Bessel se puede expresar como [11]
Funciones de Bessel del segundo tipo: Y α
Las funciones de Bessel del segundo tipo, denotadas por Y α ( x ) , ocasionalmente denotadas en su lugar por N α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que tienen una singularidad en el origen ( x = 0 ) y son multivalores . A veces se denominan funciones de Weber , ya que fueron introducidas por HM Weber ( 1873 ), y también funciones de Neumann después de Carl Neumann . [12]
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Para α no entero , Y α ( x ) está relacionado con J α ( x ) por
En el caso del orden entero n , la función se define tomando el límite como un no entero que α tiende an :
Si n es un número entero no negativo, tenemos la serie [13]
dónde es la función digamma , la derivada logarítmica de la función gamma . [14]
También hay una fórmula integral correspondiente (para Re ( x )> 0 ): [15]
Y α ( x ) es necesaria como la segunda solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel cuando α es un número entero. Pero Y α ( x ) tiene más significado que eso. Puede considerarse como un socio "natural" de J α ( x ) . Consulte también la subsección sobre funciones de Hankel a continuación.
Cuando α es un número entero, además, como sucedió de manera similar para las funciones del primer tipo, la siguiente relación es válida:
Tanto J α ( x ) como Y α ( x ) son funciones holomórficas de x en el plano complejo cortado a lo largo del eje real negativo. Cuando α es un número entero, las funciones de Bessel J son funciones completas de x . Si x se mantiene fija en un valor distinto de cero, entonces las funciones de Bessel son funciones completas de α .
Las funciones de Bessel del segundo tipo cuando α es un número entero son un ejemplo del segundo tipo de solución en el teorema de Fuchs .
Funciones de Hankel: H(1)
α, H(2)
α
Otra formulación importante de las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel son las funciones de Hankel de primer y segundo tipo , H(1)
α( x ) y H(2)
α( x ) , definido como [16]
donde i es la unidad imaginaria . Estas combinaciones lineales también se conocen como funciones de Bessel del tercer tipo ; son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial de Bessel. Llevan el nombre de Hermann Hankel .
Estas formas de combinación lineal satisfacen numerosas propiedades de apariencia simple, como fórmulas asintóticas o representaciones integrales. Aquí, "simple" significa la aparición de un factor de la forma e i f (x) . Verdadero dónde , tienen valores reales, las funciones de Bessel del primer y segundo tipo son las partes real e imaginaria, respectivamente, de la primera función de Hankel y las partes real e imaginaria negativa de la segunda función de Hankel. Por lo tanto, las fórmulas anteriores son análogas a la fórmula de Euler , sustituyendo H(1)
α( x ) , H(2)
α( x ) para y , por , , como se muestra explícitamente en la expansión asintótica .
Las funciones de Hankel se utilizan para expresar soluciones de ondas cilíndricas que se propagan hacia afuera y hacia adentro de la ecuación de onda cilíndrica, respectivamente (o viceversa, dependiendo de la convención de signos para la frecuencia ).
Usando las relaciones anteriores, se pueden expresar como
Si α es un número entero, se debe calcular el límite. Las siguientes relaciones son válidas, tanto si α es un número entero como si no: [17]
En particular, si α = m + 1/2con m un entero no negativo, las relaciones anteriores implican directamente que
Estos son útiles para desarrollar las funciones esféricas de Bessel (ver más abajo).
Las funciones de Hankel admiten las siguientes representaciones integrales para Re ( x )> 0 : [18]
donde los límites de integración indican integración a lo largo de un contorno que se puede elegir de la siguiente manera: de −∞ a 0 a lo largo del eje real negativo, de 0 a ± πi a lo largo del eje imaginario y de ± πi a + ∞ ± πi a lo largo de un contorno paralelo al eje real. [15]
Funciones de Bessel modificadas: I α , K α
Las funciones de Bessel son válidas incluso para argumentos complejos x , y un caso especial importante es el de un argumento puramente imaginario. En este caso, las soluciones de la ecuación de Bessel se denominan funciones de Bessel modificadas (u ocasionalmente funciones de Bessel hiperbólicas ) de primer y segundo tipo y se definen como [19]
cuando α no es un número entero; cuando α es un número entero, se usa el límite. Estos se eligen para tener un valor real para los argumentos reales y positivos x . La expansión en serie para I α ( x ) es, por tanto, similar a la de J α ( x ) , pero sin el factor m alterno (−1) .
se puede expresar en términos de funciones de Hankel:
Podemos expresar la primera y segunda funciones de Bessel en términos de las funciones de Bessel modificadas (estas son válidas si - π
I α ( x ) y K α ( x ) son las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel modificada : [21]
A diferencia de las funciones de Bessel ordinarias, que oscilan como funciones de un argumento real, I α y K α son funciones de crecimiento y decrecimiento exponencial , respectivamente. Como la función de Bessel ordinaria J α , la función I α va a cero en x = 0 para α > 0 y es finita en x = 0 para α = 0 . De manera análoga, K α diverge en x = 0 siendo la singularidad de tipo logarítmico para K 0 , y ½Γ (| α |) (2 / x ) | α | de lo contrario. [22]
- Funciones de Bessel modificadas del primer tipo, I α ( x ) , para α = 0, 1, 2, 3Funciones de Bessel modificadas del segundo tipo, K α ( x ) , para α = 0, 1, 2, 3
Dos fórmulas integrales para las funciones de Bessel modificadas son (para Re ( x )> 0 ): [23]
Las funciones de Bessel se pueden describir como transformadas de Fourier de potencias de funciones cuadráticas. Por ejemplo:
Se puede probar mostrando igualdad con la definición integral anterior para K 0 . Esto se hace integrando una curva cerrada en el primer cuadrante del plano complejo.
Las funciones de Bessel modificadas K 1/3 y K 2/3 se pueden representar en términos de integrales rápidamente convergentes [24]
La función de Bessel modificada del segundo tipo también ha sido llamada por los siguientes nombres (ahora raros):
- Función Basset después de Alfred Barnard Basset
- Función de Bessel modificada del tercer tipo
- Función de Hankel modificada [25]
- Función Macdonald después de Hector Munro Macdonald
Funciones esféricas de Bessel: j n , y n
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![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/9/93/Spherical_Bessel_y_Functions_%28n%3D0%2C1%2C2%29.svg/300px-Spherical_Bessel_y_Functions_%28n%3D0%2C1%2C2%29.svg.png)
Al resolver la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas por separación de variables, la ecuación radial tiene la forma
Las dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación se denominan funciones esféricas de Bessel j n y y n , y están relacionadas con las funciones ordinarias de Bessel J n e Y n por [26]
y n también se denota n n o η n ; algunos autores denominan a estas funciones funciones esféricas de Neumann .
Las funciones esféricas de Bessel también se pueden escribir como ( fórmulas de Rayleigh ) [27]
La función de Bessel esférica cero j 0 ( x ) también se conoce como función sinc (no normalizada) . Las primeras funciones esféricas de Bessel son: [28]
y [29]
Función generadora
Las funciones esféricas de Bessel tienen las funciones generadoras [30]
Relaciones diferenciales
En lo siguiente, f n es cualquiera de j n , y n , h(1)
n, h(2)
npara n = 0, ± 1, ± 2, ... [31]
Funciones esféricas de Hankel: h(1)
n, h(2)
n
También hay análogos esféricos de las funciones de Hankel:
De hecho, existen expresiones simples de forma cerrada para las funciones de Bessel de orden medio entero en términos de las funciones trigonométricas estándar y, por lo tanto, para las funciones esféricas de Bessel. En particular, para enteros no negativos n :
y h(2)
nes el complejo conjugado de esto (para x real ). De ello se deduce, por ejemplo, que j 0 ( x ) = pecado x/Xy y 0 ( x ) = - cos x/X, y así.
Las funciones esféricas de Hankel aparecen en problemas que involucran la propagación de ondas esféricas , por ejemplo en la expansión multipolar del campo electromagnético .
Funciones de Riccati-Bessel: S n , C n , ξ n , ζ n
Las funciones de Riccati- Bessel solo difieren ligeramente de las funciones esféricas de Bessel:
Satisfacen la ecuación diferencial
Por ejemplo, este tipo de ecuación diferencial aparece en la mecánica cuántica al resolver el componente radial de la ecuación de Schrödinger con una hipotética barrera de potencial infinito cilíndrico. [32] Esta ecuación diferencial, y las soluciones de Riccati-Bessel, también surge en el problema de la dispersión de ondas electromagnéticas por una esfera, conocida como dispersión de Mie después de la primera solución publicada por Mie (1908). Véase, por ejemplo, Du (2004) [33] para obtener referencias y desarrollos recientes.
Después de Debye (1909), la notación ψ n , χ n se utiliza a veces en lugar de S n , C n .
Formas asintóticas
Las funciones de Bessel tienen las siguientes formas asintóticas . Para argumentos pequeños 0 < z ≪ √ α + 1 , se obtiene, cuando α no es un entero negativo: [3]
Cuando α es un número entero negativo, tenemos
Para la función de Bessel del segundo tipo tenemos tres casos:
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni (0,5772 ...).
Para grandes argumentos reales z ≫ | α 2 - 1/4| , no se puede escribir una forma asintótica verdadera para las funciones de Bessel de primer y segundo tipo (a menos que α sea medio entero ) porque tienen ceros hasta el infinito, lo que tendría que coincidir exactamente con cualquier expansión asintótica. Sin embargo, para un valor dado de arg z, se puede escribir una ecuación que contenga un término de orden | z | −1 : [34]
(Para α = 1/2los últimos términos de estas fórmulas se eliminan por completo; ver las funciones esféricas de Bessel más arriba.) Aunque estas ecuaciones son verdaderas, pueden estar disponibles mejores aproximaciones para el complejo z . Por ejemplo, J 0 ( z ) cuando z está cerca de la línea real negativa se aproxima mejor por
que por
Las formas asintóticas de las funciones de Hankel son:
Estos pueden extenderse a otros valores de arg z usando ecuaciones que relacionan H(1)
α( ze im π ) y H(2)
α( ze im π ) a H(1)
α( z ) y H(2)
α( z ) . [35]
Es interesante que aunque la función de Bessel del primer tipo es el promedio de las dos funciones de Hankel, J α ( z ) no es asintótica con el promedio de estas dos formas asintóticas cuando z es negativo (porque una u otra no será correcto allí, dependiendo del arg z usado). Pero las formas asintóticas de las funciones de Hankel nos permiten escribir formas asintóticas para las funciones de Bessel de primer y segundo tipo para z complejos (no reales) siempre que | z | va al infinito en un ángulo de fase constante arg z (usando la raíz cuadrada que tiene una parte real positiva):
Para las funciones de Bessel modificadas, Hankel también desarrolló expansiones asintóticas (argumentos grandes) : [36] [37]
También existe la forma asintótica (para grandes ) [38]
.
Cuando α = 1/2, todos los términos excepto el primero desaparecen, y tenemos
Para pequeños argumentos 0 <| z | ≪ √ α + 1 , tenemos
Aproximaciones de dominio completo con funciones elementales
A very good approximation (error below of the maximum value 1)[citation needed] of the Bessel function for an arbitrary value of the argument x may be obtained with the elementary functions by joining the trigonometric approximation working for smaller values of x with the expression containing attenuated cosine function valid for large arguments with a usage of the smooth transition function i.e.
Propiedades
For integer order α = n, Jn is often defined via a Laurent series for a generating function:
an approach used by P. A. Hansen in 1843. (This can be generalized to non-integer order by contour integration or other methods.) Another important relation for integer orders is the Jacobi–Anger expansion:
and
which is used to expand a plane wave as a sum of cylindrical waves, or to find the Fourier series of a tone-modulated FM signal.
More generally, a series
is called Neumann expansion of f. The coefficients for ν = 0 have the explicit form
where Ok is Neumann's polynomial.[39]
Selected functions admit the special representation
with
due to the orthogonality relation
More generally, if f has a branch-point near the origin of such a nature that
then
or
where is the Laplace transform of f.[40]
Another way to define the Bessel functions is the Poisson representation formula and the Mehler-Sonine formula:
where ν > − 1/2 and z ∈ C.[41] This formula is useful especially when working with Fourier transforms.
Because Bessel's equation becomes Hermitian (self-adjoint) if it is divided by x, the solutions must satisfy an orthogonality relationship for appropriate boundary conditions. In particular, it follows that:
where α > −1, δm,n is the Kronecker delta, and uα,m is the mth zero of Jα(x). This orthogonality relation can then be used to extract the coefficients in the Fourier–Bessel series, where a function is expanded in the basis of the functions Jα(x uα,m) for fixed α and varying m.
An analogous relationship for the spherical Bessel functions follows immediately:
If one defines a boxcar function of x that depends on a small parameter ε as:
(where rect is the rectangle function) then the Hankel transform of it (of any given order α > − 1/2), gε(k), approaches Jα(k) as ε approaches zero, for any given k. Conversely, the Hankel transform (of the same order) of gε(k) is fε(x):
which is zero everywhere except near 1. As ε approaches zero, the right-hand side approaches δ(x − 1), where δ is the Dirac delta function. This admits the limit (in the distributional sense):
A change of variables then yields the closure equation:[42]
for α > − 1/2. The Hankel transform can express a fairly arbitrary function[clarification needed]as an integral of Bessel functions of different scales. For the spherical Bessel functions the orthogonality relation is:
for α > −1.
Another important property of Bessel's equations, which follows from Abel's identity, involves the Wronskian of the solutions:
where Aα and Bα are any two solutions of Bessel's equation, and Cα is a constant independent of x (which depends on α and on the particular Bessel functions considered). In particular,
and
for α > −1.
For α > −1, the even entire function of genus 1, x−αJα(x), has only real zeros. Let
be all its positive zeros, then
(There are a large number of other known integrals and identities that are not reproduced here, but which can be found in the references.)
Recurrence relations
The functions Jα, Yα, H(1)
α, and H(2)
α all satisfy the recurrence relations[43]
and
where Z denotes J, Y, H(1), or H(2). These two identities are often combined, e.g. added or subtracted, to yield various other relations. In this way, for example, one can compute Bessel functions of higher orders (or higher derivatives) given the values at lower orders (or lower derivatives). In particular, it follows that[44]
Modified Bessel functions follow similar relations:
and
and
The recurrence relation reads
where Cα denotes Iα or eαiπKα. These recurrence relations are useful for discrete diffusion problems.
Teorema de multiplicación
The Bessel functions obey a multiplication theorem
where λ and ν may be taken as arbitrary complex numbers.[45][46] For |λ2 − 1| < 1,[45] the above expression also holds if J is replaced by Y. The analogous identities for modified Bessel functions and |λ2 − 1| < 1 are
and
Ceros de la función de Bessel
Bourget's hypothesis
Bessel himself originally proved that for nonnegative integers n, the equation Jn(x) = 0 has an infinite number of solutions in x.[47] When the functions Jn(x) are plotted on the same graph, though, none of the zeros seem to coincide for different values of n except for the zero at x = 0. This phenomenon is known as Bourget's hypothesis after the 19th-century French mathematician who studied Bessel functions. Specifically it states that for any integers n ≥ 0 and m ≥ 1, the functions Jn(x) and Jn + m(x) have no common zeros other than the one at x = 0. The hypothesis was proved by Carl Ludwig Siegel in 1929.[48]
Numerical approaches
For numerical studies about the zeros of the Bessel function, see Gil, Segura & Temme (2007), Kravanja et al. (1998) and Moler (2004).
Ver también
- Anger function
- Bessel–Clifford function
- Bessel–Maitland function
- Bessel polynomials
- Fourier–Bessel series
- Schlömilch's Series
- Hahn–Exton q-Bessel function
- Hankel transform
- Jackson q-Bessel function
- Kelvin functions
- Kontorovich-Lebedev transform
- Lerche–Newberger sum rule
- Lommel function
- Lommel polynomial
- Neumann polynomial
- Sonine formula
- Struve function
- Vibrations of a circular drum
- Weber function
Notas
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Referencias
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enlaces externos
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- Wolfram function pages on Bessel J and Y functions, and modified Bessel I and K functions. Pages include formulas, function evaluators, and plotting calculators.
- Wolfram Mathworld – Bessel functions of the first kind.
- Bessel functions Jν, Yν, Iν and Kν in Librow Function handbook.
- F. W. J. Olver, L. C. Maximon, Bessel Functions (chapter 10 of the Digital Library of Mathematical Functions).
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