Bicomutante

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En álgebra , el bicomutante de un subconjunto S de un semigrupo (como un álgebra o un grupo ) es el conmutador del conmutador de ese subconjunto. También se conoce como doble conmutador o segundo conmutador y está escrito .${\ Displaystyle S ^ {\ prime \ prime}}$

El bicomutante es particularmente útil en la teoría de operadores , debido al teorema del doble conmutador de von Neumann , que relaciona las estructuras algebraicas y analíticas de las álgebras de operadores . Específicamente, muestra que si M es un álgebra unital de operadores autoadjuntos en el C * -álgebra B (H) , para algún espacio de Hilbert H , entonces el cierre débil , el cierre fuerte y el bicomutante de M son iguales. Esto nos dice que una subálgebra M unital C * de B (H) es un álgebra de von Neumann si, y solo si,${\ Displaystyle M = M ^ {\ prime \ prime}}$, y que si no, el álgebra de von Neumann que genera es .${\ Displaystyle M ^ {\ prime \ prime}}$

El bicommutant de S siempre contiene S . Entonces . Por otro lado ,. Así , es decir el commutant de la bicommutant de S es igual a la commutant de S . Por inducción tenemos:${\ Displaystyle S ^ {\ prime \ prime \ prime} = \ left (S ^ {\ prime \ prime} \ right) ^ {\ prime} \ subseteq S ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle S ^ {\ prime} \ subseteq \ left (S ^ {\ prime} \ right) ^ {\ prime \ prime} = S ^ {\ prime \ prime \ prime}}$${\ Displaystyle S ^ {\ prime} = S ^ {\ prime \ prime \ prime}}$

Si se supone que y (este es el caso, por ejemplo, de las álgebras de von Neumann ), entonces la igualdad anterior da${\ Displaystyle S_ {1} = S_ {1} '' \,}$${\ Displaystyle S_ {2} = S_ {2} '' \,}$

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