En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , la topología de operador fuerte , a menudo abreviada SOT, es la topología localmente convexa en el conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert H inducida por las seminormas de la forma , Como x varía en H .
De manera equivalente, es la topología más burda tal que, para cada x fija en H , el mapa de evaluación(tomando valores en H ) es continuo en T. La equivalencia de estas dos definiciones puede verse observando que una subbase para ambas topologías viene dada por los conjuntos(donde T 0 es cualquier operador acotado en H , x es cualquier vector y ε es cualquier número real positivo).
En términos concretos, esto significa que en la topología de operador fuerte si y solo si para cada x en H .
El SOT es más fuerte que la topología de operador débil y más débil que la topología normal .
El SOT carece de algunas de las mejores propiedades que tiene la topología de operador débil , pero al ser más fuerte, las cosas a veces son más fáciles de probar en esta topología. También puede verse como más natural, ya que es simplemente la topología de la convergencia puntual.
La topología SOT también proporciona el marco para el cálculo funcional medible , tal como lo hace la topología normal para el cálculo funcional continuo .
Los funcionales lineales en el conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert que son continuos en el SOT son precisamente los continuos en el WOT . Debido a esto, el cierre de un conjunto convexo de operadores en el WOT es el mismo que el cierre de ese conjunto en el SOT.
Este lenguaje se traduce en propiedades de convergencia de los operadores espaciales de Hilbert. Para un espacio de Hilbert complejo, es fácil de verificar por la identidad de polarización, que la convergencia del operador fuerte implica la convergencia del operador débil.
Ver también
Referencias
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