En el análisis funcional , la topología de operador débil , a menudo abreviada como WOT , es la topología más débil del conjunto de operadores delimitados en un espacio de Hilbert. , de modo que el envío funcional de un operador al número complejo es continuo para cualquier vector y en el espacio de Hilbert.
Explícitamente, para un operador hay una base de vecindarios del siguiente tipo: elija un número finito de vectores, funcionales continuos y constantes reales positivas indexado por el mismo conjunto finito . Un operador se encuentra en el vecindario si y solo si para todos .
Equivalentemente, una red de operadores acotados converge a en WOT si para todos y , la red converge a .
Relación con otras topologías en B ( H )
El WOT es el más débil entre todas las topologías comunes en, los operadores acotados en un espacio de Hilbert .
Topología de operador fuerte
La topología de operador fuerte , o SOT, enes la topología de la convergencia puntual. Debido a que el producto interno es una función continua, el SOT es más fuerte que el WOT. El siguiente ejemplo muestra que esta inclusión es estricta. Dejar y considera la secuencia de cambios unilaterales. Una aplicación de Cauchy-Schwarz muestra queen WOT. Pero claramente no converge a en SOT.
Los funcionales lineales del conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert que son continuos en la topología de operador fuerte son precisamente los que son continuos en el WOT (en realidad, el WOT es la topología de operador más débil que deja continuos todos los funcionales lineales fuertemente continuos en colocarde operadores acotados en el espacio de Hilbert H ). Debido a este hecho, el cierre de un conjunto convexo de operadores en el WOT es el mismo que el cierre de ese conjunto en el SOT.
De la identidad de polarización se desprende que una red converge a en SOT si y solo si en WOT.
Topología de operador de estrella débil
El predual de B ( H ) son los operadores de clase de rastreo C 1 ( H ), y genera la topología w * en B ( H ), llamada topología de operador de estrella débil o topología σ-débil. Las topologías de operador débil y σ-débil coinciden en conjuntos delimitados por normas en B ( H ).
Una red { T α } ⊂ B ( H ) converge a T en WOT si y solo Tr ( T α F ) converge a Tr ( TF ) para todos los operadores F de rango finito . Dado que cada operador de rango finito es de clase de rastreo, esto implica que WOT es más débil que la topología débil σ. Para ver por qué la afirmación es verdadera, recuerde que todo operador de rango finito F es una suma finita
Entonces { T α } converge a T en WOT significa
Extendiéndose ligeramente, se puede decir que las topologías de operador débil y σ-débil concuerdan en conjuntos delimitados por normas en B ( H ): Cada operador de clase de rastreo tiene la forma
donde la serie converge. Suponer y en WOT. Para cada traza de clase S ,
invocando, por ejemplo, el teorema de convergencia dominado .
Por lo tanto, todo conjunto limitado por normas es compacto en WOT, según el teorema de Banach-Alaoglu .
Otras propiedades
La operación adjunta T → T * , como consecuencia inmediata de su definición, es continua en WOT.
La multiplicación no es conjuntamente continua en WOT: nuevamente dejemos sea el cambio unilateral. Apelando a Cauchy-Schwarz, se tiene que tanto T n como T * n convergen a 0 en WOT. Pero T * n T n es el operador de identidad para todos. (Debido a que WOT coincide con la topología σ-débil en conjuntos acotados, la multiplicación no es conjuntamente continua en la topología σ-débil).
Sin embargo, se puede hacer una afirmación más débil: la multiplicación es continua por separado en WOT. Si un T i → T neto en WOT, entonces ST i → ST y T i S → TS en WOT.
SOT y WOT en B (X, Y) cuando X e Y son espacios normativos
Podemos extender las definiciones de SOT y WOT a la configuración más general donde X e Y son espacios normativos y es el espacio de operadores lineales acotados de la forma . En este caso, cada par y define una seminorma en a través de la regla . La familia resultante de seminormas genera la topología de operador débil en. De manera equivalente, el WOT ense forma tomando como vecindarios abiertos básicos aquellos conjuntos de la forma
dónde es un conjunto finito, es también un conjunto finito, y . El espacio es un espacio vectorial topológico localmente convexo cuando está dotado de WOT.
La topología de operador fuerte en es generado por la familia de seminormas a través de las reglas . Por lo tanto, una base topológica para el SOT viene dada por vecindarios abiertos de la forma
donde como antes es un conjunto finito, y
Relaciones entre diferentes topologías en B (X, Y)
La diferente terminología para las diversas topologías en a veces puede resultar confuso. Por ejemplo, "fuerte convergencia" para vectores en un espacio normado a veces se refiere a la convergencia de normas, que a menudo es distinta de (y más fuerte que) que la convergencia SOT cuando el espacio normado en cuestión es. La topología débil en un espacio normado es la topología más burda que hace que los funcionales lineales en continuo; cuando tomamos en lugar de , la topología débil puede ser muy diferente a la topología de operador débil. Y mientras que el WOT es formalmente más débil que el SOT, el SOT es más débil que la topología de la norma del operador.
En general, se cumplen las siguientes inclusiones:
y estas inclusiones pueden o no ser estrictas dependiendo de las opciones de y .
El WOT en es una topología formalmente más débil que la SOT, pero sin embargo comparten algunas propiedades importantes. Por ejemplo,
En consecuencia, si es convexo entonces
en otras palabras, el cierre SOT y el cierre WOT coinciden para conjuntos convexos.