En matemáticas , un álgebra asociativa A es una estructura algebraica con operaciones compatibles de suma, multiplicación (se supone asociativa ) y una multiplicación escalar por elementos en algún campo . Las operaciones de suma y multiplicación juntas dan a A la estructura de un anillo ; las operaciones de multiplicación de suma y escalares juntos dan A la estructura de un espacio vectorial sobre K . En este artículo también usaremos el término K- álgebraen el sentido de un álgebra asociativa sobre el campo K . Un primer ejemplo estándar de un álgebra K es un anillo de matrices cuadradas sobre un campo K , con la multiplicación de matrices habitual .
Un álgebra conmutativa es un álgebra asociativa que tiene una multiplicación conmutativa o, de manera equivalente, un álgebra asociativa que también es un anillo conmutativo .
En este artículo se supone que las álgebras asociativas tienen una identidad multiplicativa, denotada por 1; a veces se les llama álgebras asociativas unitales para aclararlas. En algunas áreas de las matemáticas no se hace esta suposición, y llamaremos a tales estructuras álgebras asociativas no unitales . También asumiremos que todos los anillos son unitales y que todos los homomorfismos de anillos son unitales.
Muchos autores consideran el concepto más general de un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo R , en lugar de un campo: un R -algebra es un R -módulo con una operación binaria asociativa R -bilineal, que también contiene una identidad multiplicativa. Para ejemplos de este concepto, si S es cualquier anillo con centro C , entonces S es un C- álgebra asociativa .
Sea R un anillo conmutativo (por lo que R podría ser un campo). Un álgebra R asociativa (o más simplemente, un álgebra R ) es un anillo que también es un módulo R de tal manera que las dos adiciones (la adición del anillo y la adición del módulo) son la misma operación, y la multiplicación escalar satisface
para todo r en R y x , y en el álgebra. (Esta definición implica que el álgebra es unital , ya que se supone que los anillos tienen una identidad multiplicativa ).