En la geometría algebraica , la dimensión Iitaka de una línea de haz de L en una variedad algebraica X es la dimensión de la imagen del mapa racional a espacio proyectivo determinado por L . Esto es 1 menos que la dimensión del anillo de sección de L
La dimensión Iitaka de L es siempre menor o igual a la dimensión de X . Si L no es efectivo, entonces su dimensión Iitaka generalmente se define comoo simplemente se dice que es negativo (algunas referencias tempranas lo definen como -1). La dimensión Iitaka de L a veces se llama dimensión L, mientras que la dimensión de un divisor D se llama dimensión D. La dimensión Iitaka fue introducida por Shigeru Iitaka ( 1970 , 1971 ).
Paquetes de grandes líneas
Un paquete de líneas es grande si tiene la dimensión Iitaka máxima, es decir, si su dimensión Iitaka es igual a la dimensión de la variedad subyacente. La Bigness es un birracional invariante: Si f: Y → X es un morfismo birracional de variedades, y si L es una línea paquete grande en X , entonces f * L es una línea paquete grande en Y .
Todos los paquetes de líneas amplias son grandes.
Los paquetes de líneas grandes no necesitan determinar isomorfismos bracionales de X con su imagen. Por ejemplo, si C es una curva hiperelíptica (como una curva del género dos), entonces su paquete canónico es grande, pero el mapa racional que determina no es un isomorfismo biracional. En cambio, es una cobertura de dos a uno de la curva canónica de C , que es una curva normal racional .
Dimensión de Kodaira
La dimensión Iitaka del paquete canónico de una variedad suave se llama dimensión Kodaira .
Conjetura de Iitaka
Considere las variedades algebraicas complejas a continuación.
Sea K el paquete canónico en M. La dimensión de H 0 (M, K m ), secciones holomorfas de K m , se denota por P m (M), llamado m-género . Dejar
entonces N (M) pasa a ser todo el entero positivo con género m distinto de cero. Cuando N (M) no está vacío, por mapa m-pluricanonical se define como el mapa
dónde son las bases de H 0 (M, K m ). Entonces la imagen de, se define como la subvariedad de .
Por cierto dejar ser el mapa-m pluricanonical donde W es el complejo colector incrustado en el espacio proyectivo P N .
En el caso de superficies con κ (M) = 1, la W anterior se reemplaza por una curva C, que es una curva elíptica (κ (C) = 0). Queremos extender este hecho a la dimensión general y obtener la estructura de la fibra analítica representada en la figura superior derecha.
Dado un mapa biracional , m-mapa pluricanónico trae el diagrama conmutativo representado en la figura de la izquierda, lo que significa que , es decir, el género m-pluricanónico es biracionalmente invariante.
Iitaka demuestra que dada la variedad compleja compacta n-dimensional M con su dimensión Kodaira κ (M) que satisface 1 ≤ κ (M) ≤ n-1, hay suficientes m 1 , m 2 grandes para que y son biracionalmente equivalentes, lo que significa que existen el mapa biracional . Es decir, el diagrama que se muestra en la figura de la derecha es conmutativo.
Además, se puede seleccionar eso es biracional con y eso es biracional con ambos y tal que
es mapa biracional, las fibras de están simplemente conectados y las fibras generales de
tienen la dimensión 0 de Kodaira.
La estructura de fibra anterior se denomina espacio de fibra Iitaka. En el caso de la superficie S ( n = 2 = dim (S)), W * es la curva algebraica, la estructura de la fibra es de dimensión 1, y luego las fibras generales tienen la dimensión 0 de Kodaira, es decir, la curva elíptica. Por tanto, S es la superficie elíptica. Este hecho se puede generalizar a la n general . Por lo tanto, el estudio de la geometría biracional de dimensiones superiores se descompone en la parte de κ = -∞, 0, ny el espacio de fibras cuyas fibras es de κ = 0.
La siguiente fórmula adicional de Iitaka, llamada conjetura de Iitaka , es importante para la clasificación de variedades algebraicas o variedades compactas complejas.
Conjetura de Iitaka - Sea para ser el espacio de fibra de la variedad m-dimensional a variedad n-dimensional y cada fibra conectado. Luego
Esta conjetura se ha resuelto sólo en parte, por ejemplo, en el caso de las variedades de Moishezon . Se podría decir que la teoría de la clasificación es el esfuerzo por resolver la conjetura de Iitaka y conducir otros teoremas de que la variedad tridimensional V es abeliana si y solo si κ (V) = 0 yq (V) = 3 y su generalización, etc. . El programa modelo mínimo podría derivarse de esta conjetura.
Referencias
- Iitaka, Shigeru (1970), "Sobre las dimensiones D de las variedades algebraicas", Proc. Japón Acad. , 46 : 487–489, doi : 10.3792 / pja / 1195520260 , MR 0285532
- Iitaka, Shigeru (1971), "Sobre las dimensiones D de las variedades algebraicas", J. Math. Soc. Japón , 23 : 356–373, doi : 10.2969 / jmsj / 02320356 , MR 0285531
- Ueno, Kenji (1975), Teoría de clasificación de variedades algebraicas y espacios complejos compactos , Lecture Notes in Mathematics, 439 , Springer-Verlag , MR 0506253