biyección
En matemáticas , una biyección , también conocida como función biyectiva , correspondencia uno a uno o función invertible , es una función entre los elementos de dos conjuntos , donde cada elemento de un conjunto está emparejado con exactamente un elemento del otro conjunto. , y cada elemento del otro conjunto se empareja con exactamente un elemento del primer conjunto. No hay elementos no emparejados. En términos matemáticos, una función biyectiva f : X → Y es un mapeo uno a uno (inyectivo) y sobre (sobreyectivo) de un conjunto X a un conjuntoY . [1] El término correspondencia biunívoca no debe confundirse con la función biunívoca (una función inyectiva ; véanse las figuras).
Una biyección del conjunto X al conjunto Y tiene una función inversa de Y a X. Si X e Y son conjuntos finitos , entonces la existencia de una biyección significa que tienen el mismo número de elementos. Para conjuntos infinitos , la imagen es más complicada, lo que lleva al concepto de número cardinal , una forma de distinguir los diversos tamaños de conjuntos infinitos.
Una función biyectiva de un conjunto a sí mismo también se llama permutación , y el conjunto de todas las permutaciones de un conjunto forma el grupo simétrico .
Las funciones biyectivas son esenciales para muchas áreas de las matemáticas, incluidas las definiciones de isomorfismo , homeomorfismo , difeomorfismo , grupo de permutación y mapa proyectivo .
Para que un emparejamiento entre X e Y (donde Y no necesita ser diferente de X ) sea una biyección, se deben cumplir cuatro propiedades:
Satisfacer las propiedades (1) y (2) significa que un emparejamiento es una función con dominio X. Es más común ver las propiedades (1) y (2) escritas como una sola declaración: cada elemento de X está emparejado con exactamente un elemento de Y. Las funciones que satisfacen la propiedad (3) se dice que están " sobre Y " y se llaman sobreyecciones (o funciones sobreyectivas ). Las funciones que satisfacen la propiedad (4) se denominan " funciones uno a uno " y se denominan inyecciones (o funciones inyectivas ). [2]Con esta terminología, una biyección es una función que es tanto una sobreyección como una inyección, o usando otras palabras, una biyección es una función que es tanto "uno a uno" como "sobre". [3]
