Geometría biracional

El círculo es biracionalmente equivalente a la línea . Un mapa biracional entre ellos es la proyección estereográfica , que se muestra aquí.

En matemáticas , la geometría biracional es un campo de la geometría algebraica en el que el objetivo es determinar cuándo dos variedades algebraicas son isomorfas fuera de los subconjuntos de dimensiones inferiores. Esto equivale a estudiar mapeos dados por funciones racionales en lugar de polinomios; el mapa puede fallar en ser definido donde las funciones racionales tienen polos.

Mapas biracionales

Mapas racionales

Un mapa racional de una variedad (entendida como irreductible ) a otra variedad , escrito como una flecha discontinua X ⇢ Y , se define como un morfismo de un subconjunto abierto no vacío a . Por definición de la topología de Zariski utilizada en geometría algebraica, un subconjunto abierto no vacío es siempre denso , de hecho, el complemento de un subconjunto de dimensiones inferiores. Concretamente, un mapa racional se puede escribir en coordenadas utilizando funciones racionales.${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

Mapas biracionales

Un mapa biracional de X a Y es un mapa racional f : X ⇢ Y tal que hay un mapa racional Y ⇢ X inverso af . Un mapa birracional induce un isomorfismo de un subconjunto abierto no vacío de X a un subconjunto abierto no vacío de Y . En este caso, se dice que X e Y son biracionales o biracionales equivalentes . En términos algebraicos, dos variedades sobre un campo k son biracionales si y solo si sus campos de funciónson isomorfos como campos de extensión de k .

Un caso especial es un morfismo biracional f : X → Y , es decir, un morfismo biracional. Es decir, f se define en todas partes, pero su inverso puede no serlo. Típicamente, esto sucede porque un morfismo birracional contrae algunas subvariedades de X a puntos en Y .

Equivalencia biracional y racionalidad

Se dice que una variedad X es racional si es biracional para afinar el espacio (o, lo que es lo mismo, para el espacio proyectivo ) de alguna dimensión. La racionalidad es una propiedad muy natural: significa que X menos algún subconjunto de dimensiones inferiores puede identificarse con el espacio afín menos algún subconjunto de dimensiones inferiores.

Equivalencia biracional de un plano cónico

Por ejemplo, el círculo con ecuación en el plano afín es una curva racional, porque hay un mapa racional f : ⇢ X dado por${\displaystyle X}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle f(t)=\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right),}$

que tiene una inversa racional g : X ⇢ dada por${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle g(x,y)={\frac {1-y}{x}}.}$

Al aplicar el mapa f con t un número racional, se obtiene una construcción sistemática de triples pitagóricos .

El mapa racional no se define en el lugar geométrico donde . Así, en la línea afín compleja , es un morfismo en el subconjunto abierto , . Asimismo, el mapa racional g : X ⇢ no está definido en el punto en .${\displaystyle f}$${\displaystyle 1+t^{2}=0}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U=\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{i,-i\}}$${\displaystyle f:U\to X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle (0,-1)}$${\displaystyle X}$

Equivalencia biracional de cuadrículas suaves y P ⁿ

De manera más general, una hipersuperficie X cuádrica suave (grado 2) de cualquier dimensión n es racional, por proyección estereográfica . (Para X una cuádrica sobre un campo k , X debe ser asumido para tener una k punto -racional ; esto es automático si k es algebraicamente cerrado.) Para definir la proyección estereográfica, dejar que p sea un punto en X . Entonces se da un mapa biracional de X al espacio proyectivo de líneas a través de p enviando un punto q en X${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$a la línea a través de p y q . Esta es una equivalencia bracional pero no un isomorfismo de variedades, porque no se define donde q = p (y el mapa inverso no se define en las líneas a través de p que están contenidas en X ).

Equivalencia biracional de superficie cuádrica

La incrustación de Segre da una incrustación dada por${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle ([x,y],[z,w])\mapsto [xz,xw,yz,yw].}$

La imagen es la superficie cuadrática en . Eso da otra prueba de que esta superficie cuádrica es racional, ya que es obviamente racional, y tiene un subconjunto abierto isomorfo a .${\displaystyle x_{0}x_{3}=x_{1}x_{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$

Modelos mínimos y resolución de singularidades

Cada variedad algebraica es biracional a una variedad proyectiva ( lema de Chow ). Entonces, a los efectos de la clasificación biracional, es suficiente trabajar solo con variedades proyectivas, y este suele ser el escenario más conveniente.

Mucho más profundo es el teorema de 1964 de Hironaka sobre la resolución de singularidades : en un campo de característica 0 (como los números complejos), cada variedad es biracional a una variedad proyectiva suave . Teniendo en cuenta eso, basta con clasificar las variedades proyectivas suaves hasta la equivalencia bracional.

En la dimensión 1, si dos curvas proyectivas suaves son biracionales, entonces son isomórficas. Pero eso falla en la dimensión al menos 2, por la construcción explosiva . Al explotar, cada variedad proyectiva suave de dimensión al menos 2 es biracional a infinitas variedades "más grandes", por ejemplo, con números Betti más grandes .

Esto lleva a la idea de modelos mínimos : ¿existe una variedad única más simple en cada clase de equivalencia bracional? La definición moderna es que una variedad proyectiva X es mínima si el conjunto de líneas canónicas K _X tiene un grado no negativo en cada curva de X ; en otras palabras, K _X es nef . Es fácil comprobar que las variedades ampliadas nunca son mínimas.

Esta noción funciona perfectamente para superficies algebraicas (variedades de dimensión 2). En términos modernos, un resultado central de la escuela italiana de la geometría algebraica a partir de 1890-1910, parte de la clasificación de las superficies , es que cada superficie X es birracional ya sea a un producto por alguna curva C o a una superficie mínima Y . ^[1] Los dos casos son mutuamente excluyentes e Y es único si existe. Cuando Y existe, se llama el modelo mínimo de  X .${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times C}$

Invariantes biracionales

Artículo principal: invariante biracional

Al principio, no está claro cómo demostrar que existen variedades algebraicas que no son racionales. Para probar esto, se necesitan algunos invariantes biracionales de variedades algebraicas. Un invariante biracional es cualquier tipo de número, anillo, etc. que sea el mismo, o isomórfico, para todas las variedades que sean biracionalmente equivalentes.

Plurigenera

Un conjunto útil de invariantes biracionales es la plurigenera . El haz canónica de una variedad lisa X de dimensión n medio la línea de haz de n -formas K _X = Ω ⁿ , que es el n º potencia exterior del fibrado cotangente de X . Para un número entero d , la d- ésima potencia del tensor de K _X es de nuevo un haz de líneas. Para d ≥ 0, el espacio vectorial de las secciones globales H ⁰ ( X, K _X ^d ) tiene la propiedad notable de que un mapa biracional f : X ⇢ Y entre variedades proyectivas suaves induce un isomorfismo H ⁰ ( X , K _X ^d ) ≅ H ⁰ ( Y , K _Y ^d ). ^[2]

Para d ≥ 0, defina el d- ésimo plurigenus P _d como la dimensión del espacio vectorial H ⁰ ( X , K _X ^d ); luego las plurigenera son invariantes biracionales para variedades proyectivas suaves. En particular, si cualquier plurigenus P _d con d > 0 no es cero, entonces X no es racional.

Dimensión de Kodaira

Artículo principal: dimensión Kodaira

Un invariante biracional fundamental es la dimensión Kodaira , que mide el crecimiento de la plurigenera P _d cuando d va al infinito. La dimensión de Kodaira divide todas las variedades de dimensión n en n  + 2 tipos, con la dimensión de Kodaira −∞, 0, 1, ... o n . Ésta es una medida de la complejidad de una variedad, donde el espacio proyectivo tiene una dimensión de Kodaira −∞. Las variedades más complicadas son aquellas con dimensión Kodaira igual a su dimensión n , denominadas variedades de tipo general .

Sumandos de ⊗ ^k Ω ¹ y algunos números de Hodge

De manera más general, para cualquier verano natural

${\displaystyle E(\Omega ^{1})=\bigotimes ^{k}\Omega ^{1}}$

de la r- poder º tensor de la cotangente haz Ω ¹ con r ≥ 0, el espacio vectorial de las secciones globales H ⁰ ( X , E (Ω ¹ )) es una invariante birracional para las variedades proyectivas lisas. En particular, los números de Hodge

${\displaystyle h^{p,0}=H^{0}(X,\Omega ^{p})}$

son invariantes birracionales de X . (La mayoría de los demás números de Hodge h ^{p, q} no son invariantes biracionales, como se muestra al explotar).

Grupo fundamental de variedades proyectivas suaves

El grupo fundamental π ₁ ( X ) es un invariante biracional para variedades proyectivas complejas suaves.

El "teorema de la factorización débil", demostrado por Abramovich, Karu, Matsuki y Włodarczyk (2002) , dice que cualquier mapa biracional entre dos variedades proyectivas complejas suaves puede descomponerse en un número finito de ampliaciones o explosiones de subvariedades suaves. Es importante saberlo, pero aún puede ser muy difícil determinar si dos variedades proyectivas suaves son biracionales.

Modelos mínimos en mayores dimensiones

Artículo principal: programa de modelo mínimo

Una variedad proyectiva X se llama mínima si el paquete canónico K _X es nef . Para X de dimensión 2, es suficiente considerar variedades suaves en esta definición. En dimensiones de al menos 3, se debe permitir que las variedades mínimas tengan ciertas singularidades suaves, para las cuales K _X todavía se comporta bien; estos se denominan singularidades terminales .

Dicho esto, el modelo conjetura mínimo implicaría que cada variedad X está cubierta ya sea por curvas racionales o birracional a una variedad mínimo Y . Cuando existe, Y se llama un modelo mínimo de X .

Los modelos mínimos no son únicos en dimensiones de al menos 3, pero dos variedades mínimas que son biracionales están muy cerca. Por ejemplo, son subconjuntos externos isomorfos de codimensión al menos 2, y más precisamente están relacionados por una secuencia de flops . Entonces, la conjetura del modelo mínimo proporcionaría información sólida sobre la clasificación biracional de las variedades algebraicas.

La conjetura fue probada en la dimensión 3 por Mori. ^[3] Ha habido grandes avances en dimensiones superiores, aunque el problema general sigue abierto. En particular, Birkar, Cascini, Hacon y McKernan (2010) ^[4] demostraron que toda variedad de tipo general sobre un campo de característica cero tiene un modelo mínimo.

Variedades uniruled

Artículo principal: Variedad reglada

Una variedad se llama uniruled si está cubierta por curvas racionales. Una variedad uniruled no tiene un modelo mínimo, pero hay un buen sustituto: Birkar, Cascini, Hacon y McKernan demostraron que cada variedad uniruled sobre un campo de característica cero es biracional para un espacio de fibra Fano . ^[a] Esto lleva al problema de la clasificación biracional de los espacios de fibra Fano y (como el caso especial más interesante) de las variedades Fano . Por definición, una variedad proyectiva X es Fano si el paquete anticanónico es amplio . Las variedades de Fano pueden considerarse las variedades algebraicas más similares al espacio proyectivo.${\displaystyle K_{X}^{*}}$

En la dimensión 2, cada variedad de Fano (conocida como superficie Del Pezzo ) sobre un campo algebraicamente cerrado es racional. Un descubrimiento importante en la década de 1970 fue que, a partir de la dimensión 3, hay muchas variedades de Fano que no son racionales . En particular, los 3 pliegues cúbicos lisos no son racionales según Clemens-Griffiths (1972) , y los 3 pliegues cúbicos lisos no son racionales según Iskovskikh – Manin (1971) . No obstante, el problema de determinar exactamente qué variedades de Fano son racionales está lejos de resolverse. Por ejemplo, no se sabe si hay alguna hipersuperficie cúbica lisa con n ≥ 4 que no sea racional.${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$

Grupos de automorfismo biracional

Las variedades algebraicas difieren ampliamente en la cantidad de automorfismos biracionales que tienen. Toda variedad de tipo general es extremadamente rígida, en el sentido de que su grupo de automorfismos biracionales es finito. En el otro extremo, el grupo de automorfismo biracional del espacio proyectivo sobre un campo k , conocido como el grupo de Cremona Cr _n ( k ), es grande (en cierto sentido, de dimensión infinita) para n ≥ 2. Para n = 2, el El grupo de Cremona complejo es generado por la "transformación cuadrática"${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {C} )}$

[ x , y , z ] ↦ [1 / x , 1 / y , 1 / z ]

junto con el grupo de automorfismos de por Max Noether y Castelnuovo . Por el contrario, el grupo de Cremona en dimensiones n ≥ 3 es un gran misterio: no se conoce ningún conjunto explícito de generadores.${\displaystyle PGL(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2},}$

Iskovskikh-Manin (1971) demostró que el grupo de automorfismo biracional de un cuártico liso triple es igual a su grupo de automorfismo, que es finito. En este sentido, los 3 pliegues cuárticos están lejos de ser racionales, ya que el grupo de automorfismos biracionales de una variedad racional es enorme. Este fenómeno de "rigidez biracional" se ha descubierto desde entonces en muchos otros espacios de fibra Fano. ^{[ cita requerida ]}

Ver también

• Conjetura de abundancia

Citas

1. Kollár y Mori (1998), Teorema 1.29.
2. Hartshorne (1977), Ejercicio II.8.8.
3. Mori 1988 .
4. Birkar y col. 2010 .

Notas

1. Birkar, Cascini, Hacon y McKernan (2010), Corolario 1.3.3, implica que cada variedad uniruled en característica cero es biracional a un espacio de fibra Fano, utilizando el resultado más fácil de que una variedad uniruled X está cubierta por una familia de curvas en el que K _X tiene grado negativo. Una referencia para este último hecho es Debarre (2001), Corolario 4.11 y Ejemplo 4.7 (1).

Referencias

• Abramovich, Dan; Karu, Kalle; Matsuki, Kenji; Włodarczyk, Jarosław (2002), "Torificación y factorización de mapas biracionales", Journal of the American Mathematical Society , 15 (3): 531–572, arXiv : math / 9904135 , doi : 10.1090 / S0894-0347-02-00396- X , MR  1896232
• Birkar, Caucher ; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D .; McKernan, James (2010), "Existencia de modelos mínimos para variedades de tipo logarítmico general", Journal of the American Mathematical Society , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS ... 23..405B , doi : 10.1090 / S0894-0347-09-00649-3 , MR  2601039
• Clemens, C. Herbert ; Griffiths, Phillip A. (1972), "El jacobiano intermedio del triple cúbico", Annals of Mathematics , Second Series, 95 (2): 281–356, CiteSeerX  10.1.1.401.4550 , doi : 10.2307 / 1970801 , ISSN  0003 -486X , JSTOR  1.970.801 , MR  0302652
• Debarre, Olivier (2001). Geometría algebraica de dimensiones superiores . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95227-7. Señor  1841091 .
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978). Principios de geometría algebraica . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-32792-9. Señor  0507725 .
• Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. Señor  0463157 .
• Iskovskih, VA; Manin, Ju. I. (1971), "Cuarticos tridimensionales y contraejemplos del problema de Lüroth", Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 86 (1): 140-166, Bibcode : 1971SbMat..15..141I , doi : 10.1070 / SM1971v015n01ABEH001536 , Señor  0291172
• Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511662560 , ISBN 978-0-521-63277-5, MR  1658959
• Mori, Shigefumi (1988), "Teorema del tirón y la existencia de modelos mínimos para 3 pliegues", Journal of the American Mathematical Society , 1 (1): 117-253, doi : 10.2307 / 1990969 , ISSN  0894-0347 , JSTOR  1990969 , MR  0924704