En matemáticas , una hipersuperficie cuádrica o cuádrica es el subespacio del espacio N -dimensional definido por una ecuación polinómica de grado 2 sobre un campo . Las cuadrículas son ejemplos fundamentales en geometría algebraica . La teoría se simplifica al trabajar en un espacio proyectivo en lugar de un espacio afín. Un ejemplo es la superficie cuádrica.
en el espacio proyectivo sobre el número complejo C . Un cuádrico tiene una acción natural del grupo ortogonal , por lo que el estudio de los cuádricos puede considerarse como un descendiente de la geometría euclidiana .
Muchas propiedades de los cuádricos son válidas de manera más general para variedades proyectivas homogéneas . Otra generalización de los cuádricos la proporcionan las variedades Fano .
Propiedades básicas
Por definición, una X cuádrica de dimensión n sobre un campo k es el subespacio dedefinido por q = 0, donde q es un polinomio homogéneo distinto de cero de grado 2 sobre k en variables. (Un polinomio homogéneo también se llama forma , por lo que q puede llamarse forma cuadrática ). Si q es el producto de dos formas lineales, entonces X es la unión de dos hiperplanos . Es común suponer quey q es irreducible , que excluye ese caso especial.
Aquí las variedades algebraicas sobre un campo k se consideran una clase especial de esquemas sobre k . Cuando k es algebraicamente cerrado , también se puede pensar en una variedad proyectiva de una manera más elemental, como un subconjunto dedefinido por ecuaciones polinomiales homogéneas con coeficientes en k .
Si q se puede escribir (después de algún cambio lineal de coordenadas) como un polinomio en un subconjunto adecuado de las variables, entonces X es el cono proyectivo sobre un cuadriculado de menor dimensión. Es razonable centrar la atención en el caso en el que X no es un cono. Para k de característica no 2, X no es un cono si y solo si X es suave sobre k . Cuando k tiene una característica distinta de 2, la suavidad de un cuádrico también es equivalente a la matriz hessiana de q que tiene un determinante distinto de cero , oa la forma bilineal asociada b ( x , y ) = q ( x + y ) - q ( x ) - q ( y ) ser no degenerado . En general, para k de característica no 2, el rango de un cuadrático significa el rango de la matriz de Hesse. Un cuadrico de rango r es un cono iterado sobre un cuadrico suave de dimension r - 2. [1]
Es un resultado fundamental que un cuadrático suave sobre un campo k sea racional sobre k si y solo si X tiene un k - punto racional . [2] Es decir, si hay una solución de la ecuación q = 0 de la forma con en k , no todo cero (por lo tanto, corresponde a un punto en el espacio proyectivo), entonces hay una correspondencia uno a uno definida por funciones racionales sobre k entremenos un subconjunto de dimensiones inferiores y X menos un subconjunto de dimensiones inferiores. Por ejemplo, si k es infinito, se sigue que si X tiene un punto k -racional, entonces tiene infinitos. Esta equivalencia se prueba mediante proyección estereográfica . En particular, cada cuadrático sobre un campo algebraicamente cerrado es racional.
Un cuadrático sobre un campo k se llama isotrópico si tiene un punto k -racional. Un ejemplo de un cuadrico anisotropico es el cuadrico
en el espacio proyectivo sobre el número real de R .
Subespacios lineales de cuadrículas
Una parte central de la geometría de las cuadrículas es el estudio de los espacios lineales que contienen. (En el contexto de la geometría proyectiva, un subespacio lineal de es isomorfo a para algunos .) Un punto clave es que cada espacio lineal contenido en un cuadriculado suave tiene una dimensión como máximo la mitad de la dimensión del cuadrático. Además, cuando k es algebraicamente cerrado, este es un límite óptimo, lo que significa que cada cuadrático suave de dimensión n sobre k contiene un subespacio lineal de dimensión. [3]
Sobre cualquier campo k , un cuadrático suave de dimensión n se llama división si contiene un espacio lineal de dimensiónsobre k . Por lo tanto, cada cuadrático suave sobre un campo algebraicamente cerrado se divide. Si una X cuádrica sobre un campo k se divide, entonces se puede escribir (después de un cambio lineal de coordenadas) como
si X tiene dimensión 2 m - 1, o
si X tiene una dimensión de 2 m . [4] En particular, sobre un campo algebraicamente cerrado, solo hay un cuadrático suave de cada dimensión, hasta el isomorfismo.
Para muchas aplicaciones, es importante describir el espacio Y de todos los subespacios lineales de dimensión máxima en una X cuádrica suave dada . (Para mayor claridad, suponga que X se divide en k ). Un fenómeno sorprendente es que Y está conectado si X tiene una dimensión impar, mientras que tiene dos componentes conectados si X tiene una dimensión par. Es decir, hay dos "tipos" diferentes de espacios lineales máximos en X cuando X tiene una dimensión par. Las dos familias pueden ser descritos por: para un cuádrica lisa X de dimensión 2 m , fix uno m un plano Q contenida en X . Entonces, los dos tipos de m -planos P contenidos en X se distinguen por si la dimensión de la intersección es par o impar. [5] (La dimensión del conjunto vacío se considera -1 aquí).
Cuadrículas de baja dimensión
Sea X un cuadrático dividido sobre un campo k . (En particular, X puede ser cualquier cuadrático suave sobre un campo algebraicamente cerrado.) En dimensiones bajas, X y los espacios lineales que contiene se pueden describir como sigue.
- Una curva cuadrática en se llama cónica . Una cónica dividida sobre k es isomorfa a la línea proyectivasobre k , incrustado enpor la segunda incrustación de Veronese . [6] (Por ejemplo, las elipses, parábolas e hipérbolas son diferentes tipos de cónicas en el plano afín sobre R , pero sus cierres en el plano proyectivo son todos isomorfos asobre R. )
- Una superficie cuádrica dividida X es isomorfa a, incrustado en por la incrustación del Segre . El espacio de líneas en la superficie cuádrica X tiene dos componentes conectados, cada uno isomorfo a. [7]
- Una X cuádrica dividida de 3 veces se puede ver como un Grassmanniano isotrópico para el grupo simpléctico Sp (4, k ). (Esto está relacionado con el isomorfismo excepcional de grupos algebraicos lineales entre SO (5, k ) y.) Es decir, dado un espacio vectorial V de 4 dimensiones con una forma simpléctica , la X cuádrica triple se puede identificar con el espacio LGr (2,4) de 2 planos en V en los que la forma se restringe a cero. Además, el espacio de las líneas en el cuádruple X triple es isomorfo a. [8]
- Una cuadrícula dividida cuádruple X se puede ver como Grassmannian Gr (2,4), el espacio de 2 planos en un espacio vectorial de 4 dimensiones (o equivalentemente, de líneas en). (Esto está relacionado con el isomorfismo excepcional de grupos algebraicos lineales entre SO (6, k ) y.) El espacio de 2 planos en el cuádruple X tiene dos componentes conectados, cada uno isomorfo a. [9]
- El espacio de 2 planos en una división cuádruple de 5 veces es isomorfo a una división de cuádruple de 6 veces. Del mismo modo, ambos componentes del espacio de 3 planos en un cuádruple dividido 6 veces son isomorfos a un cuádrico dividido 6 veces. (Esto está relacionado con el fenómeno de trialidad para el grupo Spin (8).)
Como sugieren estos ejemplos, el espacio de m -planes en un cuadrático dividido de dimensión 2 m siempre tiene dos componentes conectados, cada uno isomórfico al Grassmanniano isotrópico de ( m - 1) -planes en un cuadrático dividido de dimensión 2 m - 1. [10] Cualquier reflejo en el grupo ortogonal mapea un componente isomórficamente con el otro.
La descomposición de Bruhat
Un cuadrático suave sobre un campo k es una variedad proyectiva homogénea para el grupo ortogonal (y para el grupo ortogonal especial ), visto como grupos algebraicos lineales sobre k . Como cualquier variedad proyectiva homogénea para un grupo reductor dividido , un X cuádrico dividido tiene una descomposición celular algebraica, conocida como descomposición de Bruhat . (En particular, esto se aplica a cada cuadrático suave sobre un campo algebraicamente cerrado.) Es decir, X se puede escribir como una unión finita de subconjuntos disjuntos que son isomorfos a espacios afines sobre k de varias dimensiones. (Para las variedades proyectivas homogéneas, las células se denominan células de Schubert y sus cierres se denominan variedades de Schubert ). Las variedades celulares son muy especiales entre todas las variedades algebraicas. Por ejemplo, una variedad celular es racional y (para k = C ) la teoría de Hodge de una variedad celular proyectiva suave es trivial, en el sentido de que por . Para una variedad celular, el grupo de Chow de ciclos algebraicos en X es el grupo abeliano libre en el conjunto de células, al igual que la homología integral de X (si k = C ). [11]
Una X cuadrática dividida de dimensión n tiene solo una celda de cada dimensión r , excepto en la dimensión media de una cuadricula de dimensión par, donde hay dos celdas. Los cierres de celdas correspondientes (variedades Schubert) son: [12]
- Para , un espacio lineal contenida en X .
- Para r = n / 2, ambas variedades de Schubert son espacios linealescontenido en X , uno de cada una de las dos familias de espacios lineales de dimensión media (como se describe arriba).
- Para , la variedad de Schubert de dimensión r es la intersección de X con un espacio lineal de dimensión r + 1 en; por lo que es un cuadriculado r- dimensional. Es el cono iterado sobre un cuadrático liso de dimensión 2 r - n .
Usando la descomposición de Bruhat, es sencillo calcular el anillo de Chow de un cuádrico dividido de dimensión n sobre un campo, como sigue. [13] Cuando el campo base son los números complejos, este es también el anillo de cohomología integral de un cuádrico suave, con mapeo isomórfico a . (La cohomología en grados impares es cero).
- Para n = 2 m - 1,, donde | h | = 1 y | l | = m .
- Para n = 2 m ,, donde | h | = 1 y | l | = m , y a es 0 para m impar y 1 para m par.
Aquí h es la clase de una sección hiperplano y l es la clase de un subespacio maximal lineal de X . (Para n = 2 m , la clase del otro tipo de subespacio lineal máximo es.) Este cálculo muestra la importancia de los subespacios lineales de una cuadricula: el anillo de Chow de todos los ciclos algebraicos en X es generado por el elemento "obvio" h (extraído de la clase de un hiperplano en ) Junto con la clase de un subespacio maximal lineal de X .
Grassmannianos isotrópicos y la variedad espinor
El espacio de los planos r en un cuádruple n- dimensional suave (como el propio cuadrático) es una variedad proyectiva homogénea, conocida como Grassmannian isotrópica o Grassmannian OGr ortogonal ( r + 1, n + 2). (La numeración se refiere a las dimensiones de los espacios vectoriales correspondientes. En el caso de subespacios lineales de dimensión media de un cuadrático de dimensión par 2 m , se escribe para uno de los dos componentes conectados.) Como resultado, los Grassmannianos isotrópicos de un cuádrico dividido sobre un campo también tienen descomposiciones de células algebraicas.
El Grassmanniano isotrópico W = OGr ( m , 2 m + 1) de ( m - 1) -planos en un cuádrico liso de dimensión 2 m - 1 también se denomina variedad espinor , de dimensión m ( m + 1) / 2. (Otra descripción de la variedad espinor es como. [10] ) Para explicar el nombre: el SO más pequeño (2 m + 1) - incrustación proyectiva equivariante de las tierras W en el espacio proyectivo de dimensión. [14] La acción de SO (2 m + 1) en este espacio proyectivo no proviene de una representación lineal de SO (2 m +1) sobre k , sino más bien de una representación de su doble cubierta simplemente conectada , el grupo de espín Gire (2 m + 1) sobre k . Esto se llama la representación de espín de Spin (2 m + 1), de dimensión.
Sobre los números complejos, el OGr isotrópico de Grassmannian ( r + 1, n + 2) de r -planes en un cuadric X n- dimensional es un espacio homogéneo para el grupo algebraico complejo, y también para su subgrupo compacto máximo , el grupo compacto de Lie SO ( n + 2). Desde el último punto de vista, este Grassmannian isotrópico es
donde U ( r +1) es el grupo unitario . Para r = 0, el Grassmanniano isotrópico es el cuadrico en sí mismo, que por lo tanto puede verse como
Por ejemplo, la variedad compleja de espino OGr ( m , 2 m + 1) puede verse como SO (2 m + 1) / U ( m ), y también como SO (2 m +2) / U ( m +1) . Estas descripciones se pueden utilizar para calcular el anillo de cohomología (o equivalentemente el anillo de Chow) de la variedad espinor:
donde las clases de Chern del paquete de vectores de rango natural m son iguales a. [15] Aquíse entiende que significa 0 para j > m .
Paquetes de spinor en cuadrículas
Los haces de espinor juegan un papel especial entre todos los haces de vectores en un cuadrático, análogo a los subespacios lineales máximos entre todas las subvariedades de un cuádrico. Para describir estos paquetes, sea X un cuadrático dividido de dimensión n sobre un campo k . El grupo ortogonal especial SO ( n +2) sobre k actúa sobre X , y por lo tanto también lo hace su doble cobertura, el grupo de espín G = Spin ( n +2) sobre k . En estos términos, X es un espacio homogéneo G / P , donde P es un máximo subgrupo parabólico de G . El semisimple parte de P es la vuelta de subgrupo ( n ), y hay una manera estándar para extender las representaciones de giro de centrifugado ( n ) a representaciones de P . (Hay dos representaciones de giropara n = 2 m , cada una de las dimensiones, y una representación de espín V para n = 2 m - 1, de dimensión.) A continuación, los haces de espinoriales en la cuádrica X = G / P se definen como la G vector -equivariant fibrado asociado a estas representaciones de P . Entonces hay dos paquetes de espinor de rango para n = 2 m , y un paquete de espinor S de rangopara n = 2 m - 1. Para n incluso, cualquier reflejo en el grupo ortogonal conmuta los dos haces espinoriales en X . [14]
Por ejemplo, los dos haces de espinor en una superficie cuádrica son los paquetes de líneas O (−1,0) y O (0, −1). El paquete de espinor en una X cuádruple triple es el subconjunto de rango 2 natural en X visto como el Grassmanniano isotrópico de 2 planos en un espacio vectorial simpléctico de 4 dimensiones.
Para indicar la importancia de los haces de espinor: Mikhail Kapranov mostró que la categoría derivada acotada de roldanas coherentes en una X cuádrica dividida sobre un campo k tiene una colección excepcional completa que involucra los haces de espinor, junto con los haces de líneas "obvias" O ( j ) restringido al espacio proyectivo:
si n es par, y
si n es impar. [16] Concretamente, esto implica el caso dividido del cálculo de Richard Swan del grupo de Grothendieck de paquetes de vectores algebraicos en un cuadrático liso; es el grupo abeliano libre
para n pares, y
por n impar. [17] Cuando k = C , el grupo K topológico (de paquetes de vectores complejos continuos en la X cuádrica ) viene dada por la misma fórmula, y es cero.
Notas
- ^ Harris (1995), ejemplo 3.3.
- ^ Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), Proposición 22.9.
- ↑ Harris (1995), Teorema 22.13.
- ^ Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), Proposición 7.28.
- ↑ Harris (1995), Teorema 22.14.
- ^ Harris (1995), Conferencia 22, p. 284.
- ^ Harris (1995), Conferencia 22, p. 285.
- ^ Harris (1995), ejercicio 22.6.
- ^ Harris (1995), ejemplo 22.7.
- ↑ a b Harris (1995), Teorema 22.14.
- ^ Fulton (1998), ejemplo 19.1.11.
- ^ Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), Proposición 68.1.
- ^ Elman, Karpenko y Merkurjev (2008), ejercicio 68.3.
- ↑ a b Ottaviani (1988), sección 1.
- ^ Mimura y Toda (1991), Teorema III.6.11.
- ^ Kapranov (1988), Teorema 4.10.
- ^ Swan (1985), Teorema 1.
Referencias
- Elman, Richard ; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Teoría algebraica y geométrica de formas cuadráticas , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4329-1, MR 2427530
- Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323
- Harris, Joe (1995), geometría algebraica: un primer curso , Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3, MR 1416564
- Kapranov, Mikhail (1988), "Sobre las categorías derivadas de haces coherentes en algunos espacios homogéneos", Inventiones Mathematicae , 92 : 479–508, doi : 10.1007 / BF01393744 , MR 0939472
- Mimura, Mamoru; Toda, Hirosi (1992), grupos de Topología de mentiras , American Mathematical Society, ISBN 978-0821813423, MR 1122592
- Ottaviani, Giorgio (1988), "Spinor bundles on quadrics", Transactions of the American Mathematical Society , 307 : 301–316, doi : 10.1090 / S0002-9947-1988-0936818-5 , MR 0936818
- Swan, Richard (1985), "Teoría K de hipersuperficies cuadráticas", Annals of Mathematics , 122 : 113-153, doi : 10.2307 / 1971371 , MR 0799254