La birrefringencia es la propiedad óptica de un material que tiene un índice de refracción que depende de la polarización y la dirección de propagación de la luz . [1] Se dice que estos materiales ópticamente anisotrópicos son birrefringentes (o birrefractivos ). La birrefringencia a menudo se cuantifica como la diferencia máxima entre los índices de refracción exhibidos por el material. Los cristales con estructuras cristalinas no cúbicas suelen ser birrefringentes, al igual que los plásticos sometidos a esfuerzos mecánicos .
La birrefringencia es responsable del fenómeno de doble refracción por el cual un rayo de luz, cuando incide sobre un material birrefringente, se divide por polarización en dos rayos que toman trayectorias ligeramente diferentes. Este efecto fue descrito por primera vez por el científico danés Rasmus Bartholin en 1669, quien lo observó [2] en la calcita , un cristal que tiene una de las birrefringencias más fuertes. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX que Augustin-Jean Fresnel describió el fenómeno en términos de polarización, entendiendo la luz como una onda con componentes de campo en polarización transversal (perpendicular a la dirección del vector de onda).
Explicación
A continuación se presenta una descripción matemática de la propagación de ondas en un medio birrefringente . A continuación se ofrece una explicación cualitativa del fenómeno.
Materiales uniaxiales
El tipo más simple de birrefringencia se describe como uniaxial , lo que significa que hay una sola dirección que gobierna la anisotropía óptica, mientras que todas las direcciones perpendiculares a ella (o en un ángulo dado) son ópticamente equivalentes. Por tanto, la rotación del material alrededor de este eje no modifica su comportamiento óptico. Esta dirección especial se conoce como el eje óptico del material. La luz que se propaga en paralelo al eje óptico (cuya polarización es siempre perpendicular al eje óptico) se rige por un índice de refracción n o (para "ordinario") independientemente de su polarización específica. Para rayos con cualquier otra dirección de propagación, hay una polarización lineal que sería perpendicular al eje óptico, y un rayo con esa polarización se llama rayo ordinario y está gobernado por el mismo valor de índice de refracción n o . Sin embargo, para un rayo que se propaga en la misma dirección pero con una polarización perpendicular a la del rayo ordinario, la dirección de polarización estará parcialmente en la dirección del eje óptico, y este rayo extraordinario estará gobernado por una dirección diferente, dependiente de la dirección. índice de refracción. Debido a que el índice de refracción depende de la polarización cuando la luz no polarizada ingresa a un material birrefringente uniaxial, se divide en dos haces que viajan en diferentes direcciones, uno con la polarización del rayo ordinario y el otro con la polarización del rayo extraordinario. El rayo ordinario siempre experimentará un índice de refracción de n o , mientras que el índice de refracción del rayo extraordinario estará entre n o y n e , dependiendo de la dirección del rayo descrita por el elipsoide índice . La magnitud de la diferencia se cuantifica mediante la birrefringencia: [ verificación necesaria ]
La propagación (así como el coeficiente de reflexión ) del rayo ordinario se describe simplemente con n o como si no hubiera birrefringencia involucrada. Sin embargo, el rayo extraordinario, como su nombre indica, se propaga a diferencia de cualquier onda en un material óptico isotrópico. Su refracción (y reflexión) en una superficie se puede entender usando el índice de refracción efectivo (un valor entre n o y n e ). Sin embargo, su flujo de potencia (dado por el vector de Poynting ) no está exactamente en la dirección del vector de onda . Esto provoca un cambio adicional en ese rayo, incluso cuando se lanza con una incidencia normal, como se observa popularmente usando un cristal de calcita como se fotografía arriba. La rotación del cristal de calcita hará que una de las dos imágenes, la del rayo extraordinario, gire ligeramente alrededor de la del rayo ordinario, que permanece fija. [ verificación necesaria ]
Cuando la luz se propaga a lo largo del eje óptico o en sentido ortogonal al mismo, no se produce tal desplazamiento lateral. En el primer caso, ambas polarizaciones son perpendiculares al eje óptico y ven el mismo índice de refracción efectivo, por lo que no hay un rayo extraordinario. En el segundo caso, el rayo extraordinario se propaga a una velocidad de fase diferente (correspondiente an e ) pero aún tiene el flujo de potencia en la dirección del vector de onda . Se puede utilizar un cristal con su eje óptico en esta orientación, paralelo a la superficie óptica, para crear una placa de ondas , en la que no hay distorsión de la imagen sino una modificación intencionada del estado de polarización de la onda incidente. Por ejemplo, una placa de cuarto de onda se usa comúnmente para crear polarización circular a partir de una fuente polarizada linealmente.
Materiales biaxiales
El caso de los llamados cristales biaxiales es sustancialmente más complejo. [3] Estos se caracterizan por tres índices de refracción correspondientes a tres ejes principales del cristal. Para la mayoría de las direcciones de los rayos, ambas polarizaciones se clasificarían como rayos extraordinarios pero con diferentes índices de refracción efectiva. Sin embargo, al ser ondas extraordinarias, la dirección del flujo de energía no es idéntica a la dirección del vector de onda en ninguno de los casos.
Los dos índices de refracción se pueden determinar usando los elipsoides de índice para direcciones dadas de polarización. Tenga en cuenta que para los cristales biaxiales, el elipsoide índice no será un elipsoide de revolución (" esferoide "), sino que se describe mediante tres índices de refracción de principio desiguales n α , n β y n γ . Por tanto, no existe un eje alrededor del cual una rotación deje invariables las propiedades ópticas (como ocurre con los cristales uniaxiales cuyo elipsoide índice es un esferoide).
Aunque no existe un eje de simetría, existen dos ejes ópticos o binormales que se definen como direcciones a lo largo de las cuales la luz puede propagarse sin birrefringencia, es decir, direcciones a lo largo de las cuales la longitud de onda es independiente de la polarización. [3] Por esta razón, los materiales birrefringentes con tres índices de refracción distintos se denominan biaxiales . Además, hay dos ejes distintos conocidos como ejes de rayos ópticos o birradiales a lo largo de los cuales la velocidad de grupo de la luz es independiente de la polarización.
Doble refracción
Cuando un haz de luz arbitrario incide en la superficie de un material birrefringente, las polarizaciones correspondientes a los rayos ordinarios y extraordinarios generalmente toman trayectorias algo diferentes. La luz no polarizada consiste en cantidades iguales de energía en dos polarizaciones ortogonales cualesquiera, e incluso la luz polarizada (excepto en casos especiales) tendrá algo de energía en cada una de estas polarizaciones. De acuerdo con la ley de refracción de Snell , el ángulo de refracción estará gobernado por el índice de refracción efectivo que es diferente entre estas dos polarizaciones. Esto se ve claramente, por ejemplo, en el prisma de Wollaston, que está diseñado para separar la luz entrante en dos polarizaciones lineales utilizando un material birrefringente como la calcita .
Los diferentes ángulos de refracción para las dos componentes de polarización se muestran en la figura en la parte superior de la página, con el eje óptico a lo largo de la superficie (y perpendicular al plano de incidencia ), de modo que el ángulo de refracción es diferente para el p polarización (el "rayo ordinario" en este caso, que tiene su vector eléctrico perpendicular al eje óptico) y la polarización s (el "rayo extraordinario" con un componente de polarización a lo largo del eje óptico). Además, se produce una forma distinta de doble refracción en los casos en que el eje óptico no está a lo largo de la superficie de refracción (ni es exactamente normal a ella); en este caso, la polarización dieléctrica del material birrefringente no está exactamente en la dirección del campo eléctrico de la onda para el rayo extraordinario. La dirección del flujo de potencia (dada por el vector de Poynting ) para esta onda no homogénea forma un ángulo finito con respecto a la dirección del vector de onda, lo que da como resultado una separación adicional entre estos haces. Entonces, incluso en el caso de incidencia normal, donde el ángulo de refracción es cero (de acuerdo con la ley de Snell, independientemente del índice de refracción efectivo), la energía del rayo extraordinario puede propagarse en un ángulo. Esto se observa comúnmente usando un trozo de calcita cortado apropiadamente con respecto a su eje óptico, colocado encima de un papel con escritura, como en las dos fotografías anteriores.
Terminología
Gran parte del trabajo relacionado con la polarización precedió a la comprensión de la luz como una onda electromagnética transversal , y esto ha afectado a cierta terminología en uso. Los materiales isotrópicos tienen simetría en todas las direcciones y el índice de refracción es el mismo para cualquier dirección de polarización. Un material anisotrópico se llama "birrefringente" porque generalmente refracta un solo rayo entrante en dos direcciones, que ahora entendemos corresponden a las dos polarizaciones diferentes. Esto es cierto para un material uniaxial o biaxial.
En un material uniaxial, un rayo se comporta de acuerdo con la ley de refracción normal (correspondiente al índice de refracción ordinario), por lo que un rayo entrante con incidencia normal permanece normal a la superficie de refracción. Sin embargo, como se explicó anteriormente, la otra polarización puede desviarse de la incidencia normal, lo que no se puede describir usando la ley de refracción. Esto se conoció así como el rayo extraordinario . Los términos "ordinario" y "extraordinario" todavía se aplican a los componentes de polarización perpendiculares y no perpendiculares al eje óptico respectivamente, incluso en los casos en los que no se trata de doble refracción.
Un material se denomina uniaxial cuando tiene una sola dirección de simetría en su comportamiento óptico, que denominamos eje óptico. También resulta ser el eje de simetría del elipsoide índice (un esferoide en este caso). El elipsoide índice aún podría describirse de acuerdo con los índices de refracción, n α , n β y n γ , a lo largo de tres ejes de coordenadas, sin embargo, en este caso, dos son iguales. Así que si n α = n β correspondiente a la x y Y ejes, entonces el índice extraordinario es n γ correspondiente a la z eje, que también se llama el eje óptico en este caso.
Sin embargo, los materiales en los que los tres índices de refracción son diferentes se denominan biaxiales y el origen de este término es más complicado y con frecuencia se malinterpreta. En un cristal uniaxial, diferentes componentes de polarización de un haz viajarán a diferentes velocidades de fase, excepto los rayos en la dirección de lo que llamamos eje óptico. Así, el eje óptico tiene la propiedad particular de que los rayos en esa dirección no exhiben birrefringencia, experimentando todas las polarizaciones en dicho haz el mismo índice de refracción. Es muy diferente cuando los tres índices de refracción principales son todos diferentes; entonces, un rayo entrante en cualquiera de esas direcciones principales todavía encontrará dos índices de refracción diferentes. Pero resulta que hay dos direcciones especiales (en ángulo con los 3 ejes) donde los índices de refracción para diferentes polarizaciones son nuevamente iguales. Por esta razón, estos cristales fueron designados como biaxiales , y los dos "ejes" en este caso se refieren a las direcciones de los rayos en los que la propagación no experimenta birrefringencia.
Rayos rápidos y lentos
En un material birrefringente, una onda consta de dos componentes de polarización que generalmente se rigen por diferentes índices de refracción efectivos. El llamado rayo lento es el componente para el cual el material tiene el índice de refracción efectivo más alto (velocidad de fase más lenta), mientras que el rayo rápido es el que tiene un índice de refracción efectivo más bajo. Cuando un rayo incide sobre un material de este tipo desde el aire (o cualquier material con un índice de refracción más bajo), el rayo lento se refracta más hacia el normal que el rayo rápido. En la figura de la parte superior de la página, se puede ver que el rayo refractado con polarización s (con su vibración eléctrica en la dirección del eje óptico, por lo tanto el rayo extraordinario [4] ) es el rayo lento en este caso.
Usando una losa delgada de ese material con incidencia normal, se implementaría una placa de ondas . En este caso, esencialmente no hay separación espacial entre las polarizaciones, sin embargo, la fase de la onda en la polarización paralela (el rayo lento) será retardada con respecto a la polarización perpendicular. Por tanto, estas direcciones se conocen como eje lento y eje rápido de la placa de ondas.
Positivo o negativo
La birrefringencia uniaxial se clasifica como positiva cuando el índice extraordinario de refracción n e es mayor que el índice ordinario n o . La birrefringencia negativa significa que Δ n = n e - n o es menor que cero. [5] En otras palabras, la polarización de la onda rápida (o lenta) es perpendicular al eje óptico cuando la birrefringencia del cristal es positiva (o negativa, respectivamente). En el caso de los cristales biaxiales, los tres ejes principales tienen diferentes índices de refracción, por lo que esta designación no se aplica. Pero para cualquier dirección de rayo definida, también se pueden designar las polarizaciones rápidas y lentas de los rayos.
Fuentes de birrefringencia óptica
Si bien la birrefringencia generalmente se obtiene usando un cristal anisotrópico, puede resultar de un material ópticamente isotrópico de varias maneras:
- La birrefringencia de tensión se produce cuando los materiales isotrópicos se tensan o deforman (es decir, se estiran o doblan) provocando una pérdida de isotropía física y, en consecuencia, una pérdida de isotropía en el tensor de permitividad del material.
- Birrefringencia circular en líquidos donde hay un exceso enantiomérico en una solución que contiene una molécula que tiene estereoisómeros .
- Birrefringencia de forma, mediante la cual los elementos de la estructura, como varillas, que tienen un índice de refracción, se suspenden en un medio con un índice de refracción diferente. Cuando el espaciado de la celosía es mucho más pequeño que una longitud de onda, dicha estructura se describe como un metamaterial .
- Por el efecto Kerr , mediante el cual un campo eléctrico aplicado induce birrefringencia en frecuencias ópticas a través del efecto de la óptica no lineal ;
- Por el efecto Faraday , donde un campo magnético hace que algunos materiales se vuelvan birrefringentes circularmente (con índices de refracción ligeramente diferentes para polarizaciones circulares a la izquierda y a la derecha ), haciendo que el material esté ópticamente activo hasta que se elimine el campo;
- Por alineación propia o forzada en películas delgadas de moléculas anfifílicas como lípidos , algunos tensioactivos o cristales líquidos
Materiales birrefringentes comunes
Los materiales birrefringentes mejor caracterizados son los cristales . Debido a sus estructuras cristalinas específicas , sus índices de refracción están bien definidos. Dependiendo de la simetría de una estructura cristalina (determinada por uno de los 32 posibles grupos de puntos cristalográficos ), los cristales de ese grupo pueden ser forzados a ser isotrópicos (no birrefringentes), a tener simetría uniaxial, o ninguno de los dos, en cuyo caso es un cristal biaxial. Las estructuras cristalinas que permiten la birrefringencia uniaxial y biaxial se indican en las dos tablas siguientes, que enumeran los dos o tres índices de refracción principales (a una longitud de onda de 590 nm) de algunos cristales más conocidos. [6]
Muchos plásticos son birrefringentes porque sus moléculas se "congelan" en una conformación estirada cuando el plástico se moldea o extruye. [7] Por ejemplo, el celofán común es birrefringente. Los polarizadores se utilizan habitualmente para detectar tensiones en plásticos como el poliestireno y el policarbonato .
La fibra de algodón es birrefringente debido a los altos niveles de material celulósico en la pared celular secundaria de la fibra.
La microscopía de luz polarizada se usa comúnmente en tejidos biológicos, ya que muchos materiales biológicos son birrefringentes. El colágeno, que se encuentra en cartílagos, tendones, huesos, córneas y varias otras áreas del cuerpo, es birrefringente y comúnmente se estudia con microscopía de luz polarizada. [8] Algunas proteínas también son birrefringentes, exhibiendo birrefringencia de forma. [9]
Las imperfecciones inevitables de fabricación en la fibra óptica conducen a la birrefringencia, que es una de las causas del ensanchamiento del pulso en las comunicaciones de fibra óptica . Tales imperfecciones pueden ser geométricas (falta de simetría circular), debido a la tensión aplicada a la fibra óptica y / o debido a la flexión de la fibra. La birrefringencia se introduce intencionalmente (por ejemplo, haciendo que la sección transversal sea elíptica) para producir fibras ópticas que mantienen la polarización .
Además de la anisotropía en la polarización eléctrica ( susceptibilidad eléctrica ), la anisotropía en la polarización magnética ( permeabilidad magnética ) también puede causar birrefringencia. Sin embargo, a frecuencias ópticas, los valores de permeabilidad magnética para materiales naturales no son mediblemente diferentes de µ 0 , por lo que esta no es una fuente de birrefringencia óptica en la práctica.
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Medición
La birrefringencia y otros efectos ópticos basados en la polarización (como la rotación óptica y el dicroísmo lineal o circular ) se pueden medir midiendo los cambios en la polarización de la luz que atraviesa el material. Estas medidas se conocen como polarimetría . Los microscopios de luz polarizada, que contienen dos polarizadores que están a 90 ° entre sí a cada lado de la muestra, se utilizan para visualizar la birrefringencia. La adición de placas de cuarto de onda permite el examen de luz polarizada circularmente. Se han realizado mediciones de birrefringencia con sistemas de fase modulada para examinar el comportamiento de flujo transitorio de los fluidos. [11] [12]
La birrefringencia de las bicapas lipídicas se puede medir mediante interferometría de polarización dual . Esto proporciona una medida del grado de orden dentro de estas capas fluidas y cómo este orden se interrumpe cuando la capa interactúa con otras biomoléculas.
Aplicaciones
La birrefringencia se utiliza en muchos dispositivos ópticos. Las pantallas de cristal líquido , el tipo más común de pantalla plana , hacen que sus píxeles se vuelvan más claros o más oscuros mediante la rotación de la polarización (birrefringencia circular) de la luz polarizada linealmente como se ve a través de un polarizador de hoja en la superficie de la pantalla. De manera similar, los moduladores de luz modulan la intensidad de la luz a través de la birrefringencia inducida eléctricamente de la luz polarizada seguida de un polarizador. El filtro Lyot es un filtro espectral de banda estrecha especializado que emplea la dependencia de la longitud de onda de la birrefringencia. Las placas de onda son láminas delgadas birrefringentes muy utilizadas en ciertos equipos ópticos para modificar el estado de polarización de la luz que las atraviesa.
La birrefringencia también juega un papel importante en la generación de segundos armónicos y otros componentes ópticos no lineales , ya que los cristales utilizados para este propósito son casi siempre birrefringentes. Al ajustar el ángulo de incidencia, el índice de refracción efectivo del rayo extraordinario se puede sintonizar para lograr la adaptación de fase , que es necesaria para el funcionamiento eficiente de estos dispositivos.
Medicamento
La birrefringencia se utiliza en diagnósticos médicos. Un poderoso accesorio utilizado con microscopios ópticos es un par de filtros polarizadores cruzados . La luz de la fuente se polariza en la dirección x después de pasar a través del primer polarizador, pero encima de la muestra hay un polarizador (el llamado analizador ) orientado en la dirección y . Por lo tanto, el analizador no aceptará luz de la fuente y el campo aparecerá oscuro. Sin embargo, las áreas de la muestra que poseen birrefringencia generalmente acoplarán algo de la luz polarizada x en la polarización y ; estas áreas aparecerán entonces brillantes contra el fondo oscuro. Las modificaciones de este principio básico pueden diferenciar entre birrefringencia positiva y negativa.
Por ejemplo, la aspiración con aguja de líquido de una articulación gotosa revelará cristales de urato monosódico birrefringentes negativamente . Los cristales de pirofosfato de calcio , por el contrario, muestran una birrefringencia positiva débil. [13] Los cristales de urato aparecen amarillos y los cristales de pirofosfato cálcico aparecen azules cuando sus ejes largos se alinean paralelos a los de un filtro compensador rojo, [14] o se agrega un cristal de birrefringencia conocida a la muestra para comparar.
La birrefringencia se puede observar en placas amiloides como las que se encuentran en el cerebro de los pacientes con Alzheimer cuando se tiñen con un tinte como el Rojo Congo. Las proteínas modificadas, como las cadenas ligeras de inmunoglobulinas , se acumulan de forma anormal entre las células y forman fibrillas. Múltiples pliegues de estas fibras se alinean y adoptan una conformación de hoja con pliegues beta . El tinte rojo congo se intercala entre los pliegues y, cuando se observa bajo luz polarizada, provoca birrefringencia.
En oftalmología , el cribado binocular de birrefringencia retiniana de las fibras de Henle (axones fotorreceptores que van radialmente hacia afuera desde la fóvea) proporciona una detección confiable de estrabismo y posiblemente también de ambliopía anisometrópica . [15] Además, la polarimetría láser de barrido utiliza la birrefringencia de la capa de fibra del nervio óptico para cuantificar indirectamente su grosor, lo que es útil en la evaluación y seguimiento del glaucoma .
Las características de birrefringencia en las cabezas de los espermatozoides permiten la selección de los espermatozoides para la inyección intracitoplasmática de espermatozoides . [16] Del mismo modo, las imágenes de zona utilizan la birrefringencia en los ovocitos para seleccionar los que tienen mayores posibilidades de un embarazo exitoso. [17] La birrefringencia de partículas biopsiadas de nódulos pulmonares indica silicosis .
Los dermatólogos usan dermatoscopios para ver las lesiones cutáneas. Los dermoscopios utilizan luz polarizada, lo que permite al usuario ver las estructuras cristalinas correspondientes al colágeno dérmico en la piel. Estas estructuras pueden aparecer como líneas blancas brillantes o en forma de roseta y solo son visibles bajo dermatoscopia polarizada .
Birrefringencia inducida por estrés
Los sólidos isotrópicos no presentan birrefringencia. Sin embargo, cuando están bajo tensión mecánica , se produce una birrefringencia. La tensión se puede aplicar externamente o se "congela" después de que un artículo de plástico birrefringente se enfría después de que se fabrica mediante moldeo por inyección . Cuando se coloca una muestra de este tipo entre dos polarizadores cruzados, se pueden observar patrones de color, porque la polarización de un rayo de luz gira después de pasar a través de un material birrefringente y la cantidad de rotación depende de la longitud de onda. El método experimental llamado fotoelasticidad utilizado para analizar la distribución de tensiones en sólidos se basa en el mismo principio. Se han realizado investigaciones recientes sobre el uso de la birrefringencia inducida por tensión en una placa de vidrio para generar un vórtice óptico y haces de Poincaré completos (haces ópticos que tienen todos los estados de polarización posibles en una sección transversal). [18]
Otros casos de birrefringencia
Se observa birrefringencia en materiales elásticos anisotrópicos . En estos materiales, las dos polarizaciones se dividen según sus índices de refracción efectivos, que también son sensibles a la tensión.
El estudio de la birrefringencia en ondas de corte que viajan a través de la Tierra sólida (el núcleo líquido de la Tierra no soporta ondas de corte) se utiliza ampliamente en sismología . [ cita requerida ]
La birrefringencia se usa ampliamente en mineralogía para identificar rocas, minerales y piedras preciosas. [ cita requerida ]
Teoría
En un medio isotrópico (incluido el espacio libre), el llamado desplazamiento eléctrico ( D ) es simplemente proporcional al campo eléctrico ( E ) según D = ɛ E donde la permitividad del material ε es solo un escalar (e igual an 2 ε 0 donde n es el índice de refracción ). Sin embargo, en un material anisotrópico que exhibe birrefringencia, la relación entre D y E debe describirse ahora usando una ecuación tensorial :
( 1 )
donde ε es ahora un tensor de permitividad de 3 × 3. Suponemos linealidad y sin permeabilidad magnética en el medio: μ = μ 0 . El campo eléctrico de una onda plana de frecuencia angular ω se puede escribir en la forma general:
( 2 )
donde r es el vector de posición, t es el tiempo y E 0 es un vector que describe el campo eléctrico en r = 0 , t = 0 . Entonces encontraremos los posibles vectores de onda k . Combinando las ecuaciones de Maxwell para ∇ × E y ∇ × H , podemos eliminar H =1/μ 0B para obtener:
( 3a )
Sin cargos gratuitos, la ecuación de Maxwell para la divergencia de D desaparece:
( 3b )
Podemos aplicar la identidad vectorial ∇ × (∇ × A ) = ∇ (∇ ⋅ A ) - ∇ 2 A al lado izquierdo de la ecuación. 3a , y use la dependencia espacial en la que cada diferenciación en x (por ejemplo) resulta en una multiplicación por ik x para encontrar:
( 3c )
El lado derecho de la ecuación. 3a se puede expresar en términos de E mediante la aplicación del tensor de permitividad ε y observando que la diferenciación en el tiempo da como resultado la multiplicación por - iω , eq. 3a entonces se convierte en:
( 4a )
Aplicando la regla de diferenciación a la ecuación. 3b encontramos:
( 4b )
Eq. 4b indica que D es ortogonal a la dirección del vector de onda k , aunque eso ya no es generalmente cierto para E como sería el caso en un medio isotrópico. Eq. 4b no será necesario para los pasos adicionales en la siguiente derivación.
Encontrar los valores permitidos de k para un determinado ω es la más fácil hacer mediante el uso coordenadas cartesianas con las x , Y y Z ejes elegidos en las direcciones de los ejes de simetría del cristal (o simplemente eligiendo z en la dirección del eje óptico de una cristal uniaxial), resultando en una matriz diagonal para el tensor de permitividad ε :
( 4c )
donde los valores diagonales son cuadrados de los índices de refracción para polarizaciones a lo largo de los tres ejes principales x , y y z . Con ε en esta forma, y sustituyendo la velocidad de la luz c usando c 2 = 1/μ 0 ε 0, el componente x de la ecuación vectorial eq. 4a se convierte en
( 5a )
donde E x , E y , E z son los componentes de E (en cualquier posición dada en el espacio y el tiempo) y k x , k y , k z son los componentes de k . Reordenando, podemos escribir (y de manera similar para las Y y Z componentes de eq. 4a )
( 5b )
( 5c )
( 5d )
Este es un conjunto de ecuaciones lineales en E x , E y , E z , por lo que puede tener una solución no trivial (es decir, una que no sea E = 0 ) siempre que el siguiente determinante sea cero:
( 6 )
Al evaluar el determinante de la ec. 6 , y reordenando los términos, obtenemos
( 7 )
En el caso de un material uniaxial, eligiendo el eje óptico en la dirección z de modo que n x = n y = n o y n z = n e , esta expresión se puede factorizar en
( 8 )
Estableciendo cualquiera de los factores en la ecuación. 8 a cero definirá una superficie elipsoidal [nota 1] en el espacio de los vectores de onda k que están permitidos para un ω dado . El primer factor que es cero define una esfera; esta es la solución para los llamados rayos ordinarios, en los que el índice de refracción efectivo es exactamente n o independientemente de la dirección de k . El segundo define un esferoide simétrico con respecto al eje z . Esta solución corresponde a los llamados rayos extraordinarios en los que el índice de refracción efectivo se encuentra entre n o y n e , dependiendo de la dirección de k . Por lo tanto, para cualquier dirección de propagación arbitraria (que no sea la dirección del eje óptico), se permiten dos vectores de onda distintos k correspondientes a las polarizaciones de los rayos ordinarios y extraordinarios.
Para un material biaxial, se puede describir una condición similar pero más complicada en las dos ondas; [19] el lugar geométrico de los k vectores permitidos (la superficie del vector de onda ) es una superficie de dos hojas de cuarto grado, de modo que en una dirección dada generalmente hay dos k vectores permitidos (y sus opuestos). [20] Por inspección, se puede ver que la ec. 6 se satisface generalmente para dos valores positivos de ω . O, para una frecuencia óptica especificada ω y una dirección normal a los frentes de ondak/| k |, se satisface para dos números de onda (o constantes de propagación) | k | (y por tanto índices de refracción efectivos) correspondientes a la propagación de dos polarizaciones lineales en esa dirección.
Cuando esas dos constantes de propagación son iguales, entonces el índice de refracción efectivo es independiente de la polarización y, en consecuencia, no hay birrefringencia encontrada por una onda que viaja en esa dirección particular. Para un cristal uniaxial, este es el eje óptico, la dirección ± z de acuerdo con la construcción anterior. Pero cuando los tres índices de refracción (o permitividades), n x , n y y n z son distintos, se puede demostrar que hay exactamente dos de esas direcciones, donde las dos láminas de la superficie del vector de onda se tocan; [20] estas direcciones no son en absoluto obvias y no se encuentran a lo largo de ninguno de los tres ejes principales ( x , y , z de acuerdo con la convención anterior). Históricamente, eso explica el uso del término "biaxial" para tales cristales, ya que la existencia de exactamente dos direcciones especiales de este tipo (consideradas "ejes") se descubrió mucho antes de que la polarización y la birrefringencia se entendieran físicamente. Sin embargo, estas dos direcciones especiales generalmente no son de particular interés; Los cristales biaxiales se especifican más bien por sus tres índices de refracción correspondientes a los tres ejes de simetría.
Un estado general de polarización lanzado al medio siempre se puede descomponer en dos ondas, una en cada una de esas dos polarizaciones, que luego se propagarán con diferentes números de onda | k | . La aplicación de la fase de propagación diferente a esas dos ondas en una distancia de propagación especificada dará como resultado un estado de polarización neta generalmente diferente en ese punto; este es el principio de la placa de ondas, por ejemplo. Sin embargo, con una placa de ondas, no hay desplazamiento espacial entre los dos rayos, ya que sus k vectores todavía están en la misma dirección. Eso es cierto cuando cada una de las dos polarizaciones es normal al eje óptico (el rayo ordinario) o paralela a él (el rayo extraordinario).
En el caso más general, no es una diferencia no sólo en la magnitud, pero la dirección de los dos rayos. Por ejemplo, la fotografía a través de un cristal de calcita (parte superior de la página) muestra una imagen desplazada en las dos polarizaciones; esto se debe a que el eje óptico no es ni paralelo ni normal a la superficie del cristal. E incluso cuando el eje óptico es paralelo a la superficie, esto ocurrirá para olas lanzadas con una incidencia anormal (como se muestra en la figura explicativa). En este caso, los dos k vectores se pueden encontrar resolviendo la ecuación. 6 restringido por la condición de frontera que requiere que los componentes de los vectores k de las dos ondas transmitidas y el vector k de la onda incidente, proyectados sobre la superficie de la interfaz, sean todos idénticos. Para un cristal uniaxial se encontrará que hay no un desplazamiento espacial para el rayo ordinario (de ahí su nombre) que refractar como si el material eran no-birrefringentes con un índice de la misma que los dos ejes que no son el eje óptico . Para un cristal biaxial, ningún rayo se considera "ordinario" ni se refracta generalmente de acuerdo con un índice de refracción igual a uno de los ejes principales.
Ver también
- Efecto algodón-mouton
- Óptica de cristal
- Dicroísmo
- Mástil de islandia
- John Kerr
- Sondeo periódico
- Pleocroísmo
Notas
- ^ Aunque está relacionado, tenga en cuenta que no es lo mismo que el elipsoide índice .
Referencias
- ^ "Centro de recursos de microscopía de Olympus" . Olympus America Inc . Consultado el 13 de noviembre de 2011 .[ enlace muerto permanente ]
- ^ Ver:
- Erasmus Bartholin, Experimenta crystalli islandici disdiaclastici quibus mira & infolita refractio detegitur [Experimentos en cristal islandés birrefringente a través del cual se detecta una refracción notable y única] (Copenhague, Dinamarca: Daniel Paulli, 1669).
- Erasmus Bartholin (1 de enero de 1670) "Un relato de diversos experimentos realizados y comunicados por ese matemático aprendido, el Dr. Erasmus Bartholin, sobre un cuerpo cristalino, que le envió desde la isla", Philosophical Transactions of the Royal Society de Londres , 5 : 2041-2048.
- ^ a b Landau, LD y Lifshitz, EM, Electrodinámica de medios continuos , vol. 8 del Curso de Física Teórica 1960 (Pergamon Press), §79
- ^ Born y Wolf, 2002, págs. 807–8. (En la terminología del siglo XIX, se dice que el rayo ordinario está polarizado en el plano del eje óptico; pero este " plano de polarización " es el plano perpendicular a la vibración; cf. Fresnel, 1827, tr. Hobson, p. 318.)
- ^ Brad Amos . Birrefringencia para facetadores I: ¿que es la birrefringencia? Archivado el 14 de diciembre de 2013 en Wayback Machine. Publicado por primera vez en StoneChat, el Journal of the UK Facet Cutter's Guild. Enero marzo. edición 2005.
- ^ a b c Elert, Glenn. "Refracción" . El hipertexto de física .
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Bibliografía
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enlaces externos
- Aparato de análisis de estrés (basado en la teoría de la birrefringencia)
- http://www.olympusmicro.com/primer/lightandcolor/birefringence.html [ enlace muerto permanente ]
- Video de birrefringencia de estrés en Polimetilmetacrilato (PMMA o Plexiglas).
- La artista Austine Wood Comarow emplea la birrefringencia para crear imágenes cinéticas figurativas.
- Merrifield, Michael. "Birrefringencia" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
- La birrefringencia del hielo fino (Tom Wagner, fotógrafo)