Teorema de Birkhoff-Grothendieck

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En matemáticas , el teorema de Birkhoff-Grothendieck clasifica los paquetes de vectores holomórficos sobre la línea proyectiva compleja . En particular, cada paquete de vectores holomórficos es una suma directa de paquetes de líneas holomórficas . El teorema fue probado por Alexander Grothendieck  ( 1957 , Teorema 2.1), ^[1] y es más o menos equivalente a la factorización de Birkhoff introducida por George David Birkhoff  ( 1909 ). ^[2]${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$

Cada paquete de vectores holomórficos es holomórficamente isomórfico a una suma directa de paquetes de líneas:${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$

La notación implica que cada sumando es un giro de Serre varias veces del paquete trivial . La representación es única hasta los factores de permutación.

El mismo resultado se aplica a la geometría algebraica para el paquete de vectores algebraicos para cualquier campo . ^[3] También es válido para con uno o dos puntos orbifold, y para cadenas de líneas proyectivas que se encuentran a lo largo de los nodos.^[4]${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {1}}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$

Una aplicación de este teorema es que da una clasificación de todas las poleas coherentes en . Tenemos dos casos, haces de vectores y roldanas coherentes soportadas a lo largo de una subvariedad, entonces donde n es el grado del punto graso en . Dado que las únicas subvariedades son los puntos, tenemos una clasificación completa de haces coherentes.${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (k), {\ mathcal {O}} _ {np}}$${\displaystyle x}$

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